椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率、渐近线）
共1174题

· 椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率、渐近线）

椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率、渐近线）
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题型：简答题

简答题

（1）若椭圆+=1（a＞b＞0），过点（3，-2），离心率为，求椭圆的标准方程；

（2）双曲线的渐近线方程为y=±x，焦点坐标为（-5，0），（5，0），求该双曲线的标准方程．

正确答案

（1）由题意，，解得a2=15，b2=10，

∴椭圆的标准方程为+=1；

（2）设双曲线方程为-=1（a＞0，b＞0），则c=5

∵，解得a2=16，b2=9，

∴双曲线的标准方程为-=1．

题型：简答题

简答题

已知两点F1（0，-2），F2（0，2），且点P到这两点的距离和等于6．

（1）求以F1，F2为焦点，且过点P的椭圆方程；

（2）设点P（0，3），F1，F2，P关于直线y=x的对称点分别为P'，，F2′，求以，F2′为焦点，且过点P′的双曲线方程．

正确答案

（1）设椭圆的方程为+=1(a＞b＞0)，

由椭圆定义，得2a=|PF1|+|PF2|=6，c=2，所以，b2=a2-c2=5．

所以，椭圆的方程为+=1．…（5分）

（2）因为点P，F1，F2关于直线y=x的对称点分别为P'（3，0），F1′(-2，0)，F2′(2，0)，

设双曲线的方程为-=1(a＞0，b＞0)，

由双曲线定义，得2a=||P'F'1|-|P'F'2||=4，c=，

所以，b2=c2-a2=10．

所以，双曲线的方程为 -=1．…（10分）

题型：填空题

填空题

设F1、F2为曲线C1：+=1的焦点，P是曲线C2：-y2=1与C1的一个交点，则△PF1F2的面积为______．

正确答案

由曲线C1：+=1的方程可得 F1 （-2，0）、F2 （2，0），再由椭圆的定义可得

PF1+PF2=2．又因曲线C2：-y2=1 的焦点和曲线C1 的焦点相同，再由双曲线的定义可得

PF1-PF2=2．∴PF1=+ ，PF2=-．

△PF1F2 中，由余弦定理可得 16=(

)2+ (

)2-2（+）（-）cos∠F1PF2 ，

解得 cos∠F1PF2=，∴sin∠F1PF2=，

△PF1F2的面积为 •PF1•PF2•sin∠F1PF2=（+ ）（-）sin∠F1PF2=，

故答案为：．

题型：填空题

填空题

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为______．

正确答案

由题意，双曲线x2-y2=1的渐近线方程为y=±x

∵以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，故边长为4，

∴（2，2）在椭圆C：+=1（a＞b＞0）上

∴+=1

∵e=，∴=，∴a2=4b2

∴a2=20，b2=5

∴椭圆方程为：+=1

故答案为：+=1．

题型：简答题

简答题

求与椭圆+=1有公共焦点，且一条渐近线为y=x的双曲线的方程．

正确答案

由椭圆标准方程+=1可得的两者公共焦点为（-5，0）和（5，0），（2分）

设双曲线的方程为-=1(a＞0，b＞0)，（4分）其渐近线为y=±x，（6分）

现已知双曲线的一条渐近线为y=x，得=，（7分）又双曲线中a2+b2=52，（8分）

解得a=3，b=4，（10分）∴双曲线的方程为-=1（12分）

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