椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率、渐近线）
共1174题

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椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率、渐近线）
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题型：简答题

简答题

已知命题p：+=1表示焦点在x轴上的椭圆，命题q：（k-1）x2+（k-3）y2=1表示双曲线．若p和q有且仅有一个正确，求k的取值范围．

正确答案

当p正确时，k＞4-k＞0，即2＜k＜4．

当q正确时，（k-1）（k-3）＜0即1＜k＜3．

由题设，若p和q有且只有一个正确，则

（1）若 p正确q不正确，∴，∴3＜k≤4．

（2）若 q正确p不正确∴，∴1＜k≤2．

∴综上所述，若p和q有且仅有一个正确，k的取值范围是k∈（1，2]∪（3，4]．

题型：填空题

填空题

以椭圆+=1的焦点为顶点，离心率为2的双曲线方程为______．

正确答案

∵椭圆+=1的焦点为（±3，0）

∴双曲线的顶点为（±3，0），离心率为2

∴a=3，=2

∴c=6，∴b==3

∴双曲线方程为-=1

故答案为：-=1

题型：简答题

简答题

若双曲线C1与椭圆+=1有相同的焦点，与双曲线C2：-y2=1有相同渐近线．

（1）求C2的实轴长和渐近线方程；

（2）求C1的方程．

正确答案

（1）由题意可得C2中：a=，b=1，

故实轴长为2a=2，渐近线方程y=±x=±x；…（5分）

（2）法一：依题意可设所求的双曲线的方程为y2-=λ(λ＞0)…（6分）

即-=1…（7分）

又∵双曲线与椭圆+=1有相同的焦点，

∴λ+2λ=25-16=9解得λ=3…（11分）

∴C1的标准方程为-=1…（13分）

法二：设C1：-=1(a＞0，b＞0)，…（6分）

可得求得 …（11分）

∴C1的标准方程为-=1…（13分）

题型：填空题

填空题

离心率e=的椭圆，它的焦点与双曲线-y2=1的焦点重合，P为椭圆上任意一点，则P到椭圆两焦点距离的和为 ______．

正确答案

依题意可知双曲线的焦点为（2，0），（-2，0）

∵椭圆离心率e==，c=2

∴a=4

根据椭圆的定义可知P到椭圆两焦点距离的和为2a=8

故答案为8．

题型：简答题

简答题

已知双曲线与椭圆可+=1共焦点，它们的离心率之和为，求双曲线方程．

正确答案

依题意可知椭圆方程中a=5，b=3，

∴c==4

∴椭圆焦点为F（O，±4），离心率为e=

所以双曲线的焦点为F（O，±4），离心率为2，

从而双曲线中

求得c=4，a=2，b=2．

所以所求双曲线方程为-=1

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