曲线与方程_章节学习

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题型：单选题

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单选题

方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）的曲线在同一坐标系中的示意图应是（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：方程mx+ny2=0 即 y2=-，表示抛物线，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示椭圆或双曲线．

当 m和n同号时，抛物线开口向左，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示焦点在y轴上的椭圆，无符合条件的选项．

当m和n异号时，抛物线 y2=- 开口向右，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示双曲线，

故选 A．

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题型：简答题

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简答题

设点P（x，y）是曲线a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0）上任意一点，其坐标（x，y）均满足+≤2，求a+b的取值范围．

正确答案

解：曲线a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0），

当x，y≥0时，化为ax+by=1；当x≥0，y≤0时，化为ax-by=1；

当x≤0，y≥0时，化为-ax+by=1；当x≤0，y≤0时，

化为-ax-by=1．画出图象：表示菱形ABCD．

由+≤2，

即+≤2．

设M（-1，0），N（1，0），

则2|PM|≤2，|BD|≤2，

∴≤，≤2，

解得b≥1，a≥1，

∴a+b≥1+1=2．

∴a+b取值范围为[2，+∞）．

解析

解：曲线a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0），

当x，y≥0时，化为ax+by=1；当x≥0，y≤0时，化为ax-by=1；

当x≤0，y≥0时，化为-ax+by=1；当x≤0，y≤0时，

化为-ax-by=1．画出图象：表示菱形ABCD．

由+≤2，

即+≤2．

设M（-1，0），N（1，0），

则2|PM|≤2，|BD|≤2，

∴≤，≤2，

解得b≥1，a≥1，

∴a+b≥1+1=2．

∴a+b取值范围为[2，+∞）．

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题型：简答题

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简答题

画出方程x4-x2=y4-y2的曲线C，并回答下列问题：

（1）若点A（m，）在曲线C上，求m的值；

（2）若直线y=a（a∈R）与曲线C分别有一个、两个、三个、四个交点，求a的取值范围．

正确答案

解：原方程可化为（2-2）（2+2-1）=0即 =±或2+2=1．故方程的曲线如图所示

（1）∵点（，）在曲线上，

∴（2-2）[2+（）2-1]=0，

解之，有=±．　　

（2）解方程组得直线与圆的四个交点（，），（-，），（，-），（-，-），结合图象可知：

当直线=与曲线有两个交点时：

＞1或＜-1，或=或=-，

当直线=与曲线有三个交点时：

=1或=-1，或=0，

当直线=与曲线有四个交点时：

0＜＜1且≠，或-1＜＜0且≠-，

由曲线的对称性知，直线=与曲线不会只有一个交点，即不存在实数，使直线=与曲线有一个交点．

解析

解：原方程可化为（2-2）（2+2-1）=0即 =±或2+2=1．故方程的曲线如图所示

（1）∵点（，）在曲线上，

∴（2-2）[2+（）2-1]=0，

解之，有=±．　　

（2）解方程组得直线与圆的四个交点（，），（-，），（，-），（-，-），结合图象可知：

当直线=与曲线有两个交点时：

＞1或＜-1，或=或=-，

当直线=与曲线有三个交点时：

=1或=-1，或=0，

当直线=与曲线有四个交点时：

0＜＜1且≠，或-1＜＜0且≠-，

由曲线的对称性知，直线=与曲线不会只有一个交点，即不存在实数，使直线=与曲线有一个交点．

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题型：填空题

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填空题

在直角坐标系内，点A（x，y）实施变换f后，对应点为A1（y，x），给出以下命题：

①圆x2+y2=r2（r≠0）上任意一点实施变换f后，对应点的轨迹仍是圆x2+y2=r2（r≠0）；

②若直线y=kx+b上每一点实施变换f后，对应点的轨迹方程仍是y=kx+b，则k=-1；

③椭圆+=1（a＞b＞0）上每一点实施变换f后，对应点的轨迹仍是离心率不变的椭圆；

④曲线C：y=-x2+2x-1（x＞0）上每一点实施变换f后，对应点的轨迹是曲线C1，M是曲线C上的任意一点，N是曲线C1上的任意一点，则|MN|的最小值为．

以上正确命题的序号是______（写出全部正确命题的序号）．

正确答案

①③④

解析

解：①圆x2+y2=r2（r≠0）上任意一点实施变换f后，

显然互换x，y后，对应点的轨迹仍是圆x2+y2=r2（r≠0）；

则①正确；

②若直线y=kx+b上每一点实施变换f后，

互换x，y后，对应点的轨迹方程：x=ky+b，若应点的轨迹方程仍是y=kx+b，

那么k=±1且b=0，则②不正确；

③椭圆+=1（a＞b＞0）上每一点实施变换f后，

对应点的轨迹：+=1（a＞b＞0），

那么对应点的轨迹仍是离心率不变的椭圆，则③正确；

④曲线C：y=-x2+2x-1（x＞0）上每一点实施变换f后，

对应点的轨迹是曲线C1：x=-y2+2y-1（x＞0）

将y=x向下平移个单位得到直线y=x-，那么直线y=x-与y=-x2+2x-1（x＞0）相切，

那么y=x与直线y=x-的距离是，利用对称性可知，则|MN|的最小值为．

则④正确．

故答案为：①③④．

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题型：简答题

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简答题

（2015秋•陕西校级期末）关于x，y的方程满足下列曲线，分别求m的取值范围：

（1）焦点在x轴的椭圆；

（2）焦点在y的双曲线．

正确答案

解：（1）∵方程表示焦点在x轴的椭圆，

∴，解得：；

（2）∵方程表示焦点在y的双曲线，

∴，解得：m＞5．

解析

解：（1）∵方程表示焦点在x轴的椭圆，

∴，解得：；

（2）∵方程表示焦点在y的双曲线，

∴，解得：m＞5．

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题型：填空题

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填空题

已知x，y∈R，且满足2x2+y2=6x，那么x2+y2+2x的最大值为______．

正确答案

15

解析

解：2x2+y2=6x化为y2=6x-2x2，y∈[0，]，x∈[0，3]，

所以x2+y2+2x=8x-x2，

二次函数开口向下，当x=4时表达式取得最大值，因为4∉[0，3]，

所以表达式在x∈[0，3]上是增函数，

所以x=3时此时y=0，表达式取得最大值：32+02+2×3=15．

故答案为：15．

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题型：填空题

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填空题

方程+=1所表示的图形是______．

正确答案

焦点在y轴上的双曲线

解析

解：∵-1≤sinθ≤1，

∴1≤2sinθ+3≤5，-4≤sinθ-3≤-2，

∴方程+=1所表示的图形是焦点在y轴上的双曲线，

故答案为：焦点在y轴上的双曲线．

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题型：填空题

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填空题

方程（x+y）=0表示的曲线是______．

正确答案

两条射线和一个圆

解析

解：∵（x+y）=0，

∴x+y=0（x2+y2≥4）或x2+y2=4，

∴方程（x+y）=0表示的曲线是两条射线和一个圆．

故答案为：两条射线和一个圆．

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题型：填空题

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填空题

（2015秋•余姚市期末）已知直线l：x-y+m=0（m是常数），曲线C：x|x|-y|y|=1，若l与C有两个不同的交点，则m的取值范围是______．

正确答案

（-，0）

解析

解：曲线C：x|x|-y|y|=1，表示的曲线如图所示．

由直线l：x-y+m=0（m是常数），曲线C：x2+y2=1相切，

可得m=-，

∴m的取值范围是（-，0）．

故答案为：（-，0）．

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题型：单选题

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单选题

如果曲线C上任意一点的坐标都是方程F（x，y）=0的解，那么下列命题正确的是（　　）

A曲线C的方程是F（x，y）=0

B曲线C上的点都在方程F（x，y）=0的曲线上

C方程F（x，y）=0的曲线是C

D以方程F（x，y）=0解为坐标点都在曲线C上

正确答案

B

解析

解：∵曲线C上任意一点的坐标都是方程F（x，y）=0的解，

∴曲线C上的点都在方程F（x，y）=0的曲线上，而此方程未必是曲线的方程．

因此只有B正确．

故选：B．

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