- 曲线与方程
- 共922题
（2015秋•昌平区期末）已知直线l：kx-y+1=0（k∈R）．若存在实数k，使直线l与曲线C交于A，B两点，且|AB|=|k|，则称曲线C具有性质P．给定下列三条曲线方程：
①y=-|x|；
②x2+y2-2y=0；
③y=（x+1）2．
其中，具有性质P的曲线的序号是______．
正确答案
②③
解析
解：①y=-|x|与直线l：kx-y+1=0（k∈R）至多一个交点，不具有性质P；
②x2+y2-2y=0圆心为（0，1），直线l：kx-y+1=0（k∈R）过定点（0，1），故存在k=±2，使直线l与曲线C交于A，B两点，且|AB|=|k|，具有性质P；
③y=（x+1）2，过点（0，1），直线l：kx-y+1=0（k∈R）过定点（0，1），故存在k，使直线l与曲线C交于A，B两点，且|AB|=|k|，具有性质P．
故答案为：②③．
θ∈R，则方程x2+
正确答案
解析
解：由题意，sinθ∈[-1，0）∪（0，1]
∴sinθ=1时，方程表示圆；
sinθ∈[-1，0）时，方程表示双曲线；
sinθ∈（0，1]，方程表示椭圆．
由于不含一次项，曲线对应的方程至少有两条对称轴，而抛物线只有一条对称轴，故方程不表示抛物线
故选D．
已知点M，N的坐标分别为（-2，0），（2，0），直线MP，NP相交于点P，且它们的斜率之积是
（1）求曲线D的方程；
（2）若AB边通过坐标原点O，求AB的长及△ABC的面积；
（3）若线段AB的垂直平分线与线段BC的垂直平分线交于线段AC的中点，求△ABC的外接圆面积最大时线段AB所在直线的方程．
正确答案
解；（1）设点P的坐标（ x，y），由条件得：
（2）∵点A，B在D上，AB边通过坐标原点O，故AB边是圆的直径，∴AB=4，且AB方程为：y=x，
AB与直线l之间的距离d=
（3）∵线段AB的垂直平分线与线段BC的垂直平分线交于线段AC的中点，
∴线段AC的中点是△ABC外接圆的圆心，且AB⊥BC，∴点C还在圆x2+y2=4 上，
外接圆半径r=
∴r=
AB方程为y+2=1•（x-0），即：x-y-2=0．
解析
解；（1）设点P的坐标（ x，y），由条件得：
（2）∵点A，B在D上，AB边通过坐标原点O，故AB边是圆的直径，∴AB=4，且AB方程为：y=x，
AB与直线l之间的距离d=
（3）∵线段AB的垂直平分线与线段BC的垂直平分线交于线段AC的中点，
∴线段AC的中点是△ABC外接圆的圆心，且AB⊥BC，∴点C还在圆x2+y2=4 上，
外接圆半径r=
∴r=
AB方程为y+2=1•（x-0），即：x-y-2=0．
（2015秋•冀州市校级期末）方程x（x2+y2-4）=0与x2+（x2+y2-4）2=0表示的曲线是（ ）
正确答案
解析
解：由x（x2+y2-4）=0，得x=0或x2+y2-4=0，即x=0或x2+y2=4，曲线表示一条直线和一个圆；
由x2+（x2+y2-4）2=0，得x2=0且x2+y2-4=0，即x=0，y=-2或x=0，y=2，曲线表示点（0，-2）或（0，2）．
∴前者是一条直线和一个圆，后者是两个点．
故选：D．
已知曲线C和C′关于直线x-y-2=0对称，若曲线C的方程为f（x，y）=0，则曲线C′的方程为______．
正确答案
f（y+2，x-2）=0
解析
解：设所求曲线上任意一点A（x，y），则A（x，y）关于直线x-y-2=0对称的点B（x′，y′）在已知曲线上
∵
∵B（x′，y′）在已知曲线f（x，y）=0上，即f（x′，y′）=0
∴有f（y+2，x-2）=0
故答案为：f（y+2，x-2）=0
方程|y|=
正确答案
解析
解：由题意，取点（x，y），则关于x轴对称的点（x，-y）满足方程|y|=
所以方程|y|=
故选：A．
在平面直角坐标系xOy中，设F1（-4，0），F2（4，0），方程
①曲线C是以F1、F2为焦点的椭圆的一部分；
②曲线C关于x轴、y轴、坐标原点O对称；
③若P是上任意一点，则PF1+PF2≤10；
④若P是上任意一点，则PF1+PF2≥10；
⑤曲线C围成图形的面积为30．
其中真命题的序号是______．
正确答案
②③⑤
解析
解：∵
故①④错，②③对
对于⑤，图形的面积为
故答案为②③⑤
若对满足条件3x+3y+8=2xy（x＞0，y＞0）的任意x、y，（x+y）2-a（x+y）+16≥0恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
正确答案
解析
解：由3x+3y+8=2xy，得3（x+y）+8=2xy≤
即（x+y）2-6（x+y）-16≥0，解得x+y≤-2或x+y≥8．
令t=x+y，则t≤-2或t≥8．
则问题变成了t2-at+16≥0对t∈（-∞，-2]∪[8，+∞）恒成立，
若△=（-a）2-4×16≤0，即-8≤a≤8，不等式显然成立，
若△＞0，即a＜-8或a＞8，
则
解得8＜a≤10．
综上，实数a的取值范围是[-8，10]．
故选：C．
方程4x2-y2+6x-3y=0表示的图形是（ ）
正确答案
解析
解：方程4x2-y2+6x-3y=0 即（2x-y）（2x+y+3）=0，
可得：2x-y=0或2x+y+3=0，∴方程表示两条直线．
故选：C．
（2015春•杭州校级月考）已知曲线C的方程为x2+x+y-1=0，则下列各点中在曲线C上的点是（ ）
正确答案
解析
解：由x2+x+y-1=0，得y=-x2-x+1，
取x=0，得y=1；
取x=-1，得y=1；
取x=1，得y=-1．
∴点（0，1）在曲线C上．
故选：A．
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