- 曲线与方程
- 共922题
（2015秋•厦门校级月考）点P在曲线y=-e-x上，点Q在曲线y=lnx上，线段PQ的中点为M，O是坐标原点，则线段OM的长的最小值是______．
正确答案
解析
解：∵曲线y=-e-x与y=lnx，其图象关于y=-x对称，
故线段OM的长的最小值，可转化为点P到直线y=-x的最近距离d
设曲线y=-e-x上斜率为1的切线为y=x+b，
∵y′=e-x，由ex=1，得x=0，故切点坐标为（0，-1），即b=-1
∴d=
∴线段OM的长的最小值为
故答案为：
（2015秋•保定校级月考）方程y=
正确答案
解析
解：方程
所以方程
故选：D．
若方程x2-xy-2y2+x+7y+a=0表示两条直线，则a=______．
正确答案
-6
解析
解：看成关于x的二次函数，即x2-（y-1）x-2y2+7y+a=0，
故△x=（y-1）2+4（2y2-7y-a）=0
即9y2-30y+1-4a=0
此时△y=900-36（1-4a）=0
得出a=-6，
故答案为：-6．
（2011春•大连校级期末）方程|x|-1=
正确答案
解析
解：∵|x|-1=
∴（|x|-1）2+（y-1）2=1，
∴（x-1）2+（y-1）2=1，x≥1或（x+1）2+（y-1）2=1，x≤-1
故选：D．
已知A（x1，y1），B（x2，y2）分别是直线l上和l外的点，若直线l的方程为f（x，y）=0，则方程f（x，y）=f（x1，y1）表示（ ）
正确答案
解析
解：由题意直线l方程为f（x，y）=0，则A（x1，y1）为直线l上的点，f（x1，y1）=0，
所以方程f（x，y）=f（x1，y1）为f（x，y）=0，表示直线l．
故选A．
画出方程
正确答案
解：方程
表示一条直线x=1（去掉点（1，0））以及圆 x2+y2=2位于直线x=1右侧的部分，如图所示．
解析
解：方程
表示一条直线x=1（去掉点（1，0））以及圆 x2+y2=2位于直线x=1右侧的部分，如图所示．
已知曲线C：x2+y2=4（x≥0，y≥0），与抛物线x2=y及y2=x的图象分别交于点A（x1，y1），B（x2，y2），则y12+y22的值等于（ ）
正确答案
解析
解：∵抛物线x2=y及y2=x的图象关于直线y=x对称，
∴A（x1，y1），B（x2，y2）两点关于直线y=x对称，
故 x1=y2，x2=y1，B点坐标为（y1，y2），
∵点B在曲线C：x2+y2=4（x≥0，y≥0）上，
∴y12+y22=4．
故选C．
曲线x2+ay+2y+2=0经过点（2，-1），则a=______．
正确答案
4
解析
解：由题意，∵曲线x2+ay+2y+2=0经过点（2，-1），
∴22-a-2+2=0
∴a=4
故答案为4
已知曲线C：y=-x2+x+2关于点M（-1，-2）对称的曲线为Cn，且曲线C与Cn有两个不同的交点A、B，求直线AB的方程．
正确答案
解：设（x，y）为曲线Cn上的任一点，（x，y）关于点M（-1，-2）的对称点为（x0，y0），
则x0=-2-x，y0=-4-y．
依题意，点（x0，y0）在曲线C上，∴-4-y=-（-2-x）2-2-x+2．
化简、整理，得曲线Cn的方程：y=x2+5x；
由
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=-2，x1x2=-1．
∵
两式相减，得：
∴直线AB方程为：y+2=3（x+1），即3x-y+1=0．
解析
解：设（x，y）为曲线Cn上的任一点，（x，y）关于点M（-1，-2）的对称点为（x0，y0），
则x0=-2-x，y0=-4-y．
依题意，点（x0，y0）在曲线C上，∴-4-y=-（-2-x）2-2-x+2．
化简、整理，得曲线Cn的方程：y=x2+5x；
由
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=-2，x1x2=-1．
∵
两式相减，得：
∴直线AB方程为：y+2=3（x+1），即3x-y+1=0．
在平面直角坐标系中，A（-1，0），B（1，0），若曲线C上存在一点P，使∠APB为钝角，则称曲线上有钝点，下列曲线中“有钝点的曲线”是______（写出所有满足条件的编号）
①x2=4y；
②
③x2-y2=1；
④（x-2）2+（y-2）2=4；
⑤3x+4y=4．
正确答案
①④⑤
解析
解：在平面直角坐标系中，A（-1，0），B（1，0），若曲线C上存在一点P，使∠APB为钝角，则P在圆：x2+y2=1的内部，
①x2=4y，显然在圆：x2+y2=1的内部存在点P，故是“有钝点的曲线”；
②圆：x2+y2=1在
③x2-y2=1与圆：x2+y2=1相交于A（-1，0），B（1，0），其余点在圆的外部，故不存在一点P，使∠APB为钝角，故不是“有钝点的曲线”；
④（x-2）2+（y-2）2=4与圆：x2+y2=1相交，故存在一点P，使∠APB为钝角，故是“有钝点的曲线”；
⑤圆心到直线的距离为
故答案为：①④⑤．
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