- 曲线与方程
- 共922题
(2015秋•孝义市期末)已知△ABC的两个顶点A,B的坐标分别是(-5,0),(5,0),且AC,BC所在直线的斜率之积等于m(m≠0).
(Ⅰ)求点C的轨迹方程;
(Ⅱ)讨论点C的轨迹的形状.
正确答案
解:(Ⅰ)设C(x,y),则由题知,
即为点C的轨迹方程.…(4分)
(Ⅱ)当m>0时,点C的轨迹为焦点在x轴上的双曲线;
当m<-1时,点C的轨迹为焦点在y轴上的椭圆;
当m=-1时,点C的轨迹为圆心为(0,0),半径为5的圆;
当-1<m<0时,点C的轨迹为焦点在x轴上的椭圆.…(12分)
解析
解:(Ⅰ)设C(x,y),则由题知,
即为点C的轨迹方程.…(4分)
(Ⅱ)当m>0时,点C的轨迹为焦点在x轴上的双曲线;
当m<-1时,点C的轨迹为焦点在y轴上的椭圆;
当m=-1时,点C的轨迹为圆心为(0,0),半径为5的圆;
当-1<m<0时,点C的轨迹为焦点在x轴上的椭圆.…(12分)
曲线(x+y-3)=0所表示的图形是( )
正确答案
解析
解:由(x+y-3)=0,得
x2+y2-25=0或,
∴曲线(x+y-3)=0所表示的图形如图:
故选:B.
方程x2-y2=0表示的图形是______.
正确答案
两条垂直的直线
解析
解:方程x2=y2 即y=±x,表示两条直线y=x,及y=-x,且这两直线垂直,
故答案为:两条垂直的直线.
(2015秋•海安县期末)在平面直角坐标系xOy中,将函数y=-(x∈[0,2])的图象绕坐标原点O按逆时针方向旋转角θ,若∀θ∈[0,a],旋转后所得的曲线都是某个函数的图象,则a的最大值为______.
正确答案
60°
解析
解:由题意,函数图象如图所示,函数在[0,1]上为增函数,在[1,2]上为减函数.
设函数在x=0处,切线斜率为k,则k=f‘(0)
∵f'(x)=•,
∴k=f'(0)=,可得切线的倾斜角为30°,
因此,要使旋转后的图象仍为一个函数的图象,旋转θ后的切线倾斜角最多为90°,也就是说,最大旋转角为90°-30°=60°,即θ的最大值为60°.
故答案为:60°
以下几个命题中:其中真命题的序号为______(写出所有真命题的序号)
①设A,B为两点定点,k为非零常数,||-||=k,则动点P的轨迹为双曲线;
②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB,O为坐标原点,若则动点P的轨迹为椭圆;
③双曲线与椭圆=1有相同的焦点;
④若方程2x2-5x+a=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率,则0<a<3;
⑤在平面内,到定点(2,1)的距离与到定直线3x+4y-10=0的距离相等的点的轨迹是抛物线.
正确答案
③④
解析
解:①平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数k(k<|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,当0<k<|AB|时是双曲线的一支,当k=|AB|时,表示射线,∴①不正确;
②,设定圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,点A(m,n),P(x,y),由可知P为AB的中点,则B(2x-m,2y-n),因为AB为圆的动弦,所以B在已知圆上,把B的坐标代入圆x2+y2+Dx+Ey+F=0得到P的轨迹仍为圆,当B与A重合时AB不是弦,所以点A除外,所以②不正确;
③双曲线与椭圆的焦点都是(±,0),有相同的焦点,正确;
④正确方程2x2-5x+a=0的可分别作为椭圆和双曲线的离心率,则,∴0<a<3,正确;
⑤在平面内,点(2,1)在直线3x+4y-10=0上,
∴到定点(2,1)的距离与到定直线3x+4y-10=0的距离相等的点的轨迹不是抛物线,∴⑤不正确
故答案为:③④.
已知直线:y=kx-k+1与曲线C:x2+2y2=m有公共点,则m的取值范围是( )
正确答案
解析
解:直线:y=kx-k+1恒过定点(1,1),
∵直线:y=kx-k+1与曲线C:x2+2y2=m有公共点,
∴12+2×12≤m,
∴m≥3.
故选:A.
方程log1+yx+log1-yx=2log1+yxlog1-yx所表示的曲线是如下图所示的( )
正确答案
解析
解:当x=1时显然成立,当x≠时方程化简可得x2+y2=1,注意到x、y的范围,
故选C.
方程mx2+y2=1所表示的所有可能的曲线是( )
正确答案
解析
解:当m=1时,方程为x2+y2=1表示圆;
当m<0时,方程为y2-(-m)x2=1表示双曲线;
当m>0且m≠1时,方程表示椭圆;
当m=0时,方程表示两条直线.
故选:C.
确定方程的解集______.
正确答案
{5}
解析
解:由题意,,∴x≥5
∴,
∴
∵
∴
∵x≥5,∴
∴
∴x=5
故答案为:{5}
(2015秋•牡丹江校级期中)设点P(x,y)是曲线a|x|+b|y|=1(a≥0,b≥0)上任意一点,其坐标(x,y)均满足,则的取值范围为______.
正确答案
[1,+∞)
解析
解:曲线a|x|+b|y|=1(a≥0,b≥0),
当x,y≥0时,化为ax+by=1;当x≥0,y≤0时,化为ax-by=1;
当x≤0,y≥0时,化为-ax+by=1;当x≤0,y≤0时,化为-ax-by=1.
画出图象:表示菱形ABCD.
由,即.
设M(-2,0),N(2,0),可得:2|PM|≤8,|BD|≤8,
∴,,
解得b≥,a≥,
∴.
∴的取值范围为[1,+∞).
故答案为:[1,+∞).
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