热门试卷

（1）由题意，可得

∵A（-1，1），B（1，1），M（x，y）

∴+=(-1-x，1-y)+(1-x，1-y)=(-2x，2-2y)，

由此可得，|+|==，

又∵|+|=4-•(+)，且4-•(+)=4-(x，y)•(0，2)=4-y，

∴=4-y，

化简整理得：+=1，即为所求曲线C的方程．

（2）因为过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称，

所以可设P（x，y），M（x0，y0），N（-x0，-y0）．

∴P，M，N在椭圆上，

∴+=1，…①．+=1，…②

①-②，得=-．

又∵kPM=，kPN=，

∴kPM•kPN=•==-，

因此，kPM•kPN的值恒等于-，与点P的位置和直线L的位置无关．

（3）由于P（x，y）在椭圆C：+=1上运动，可得x2=3-y2且-2≤y≤2

∵=（x，y-m），

∴||===

由题意，点P的坐标为（0，2）时，||取得最小值，

即当y=2时，||取得最小值，而-2≤y≤2，故有4m≥2，解之得m≥．

又∵椭圆C与y轴交于D、E两点的坐标为（0，2）、（0，-2），而点M在线段DE上，即-2≤m≤2，

∴≤m≤2，实数m的取值范围是[，2]．

①当m=0时，曲线方程即 x=±1，表示两条直线．

②当 m＞0时，曲线方程即 x2-=1，表示焦点在x轴的双曲线．

③m=-1时，曲线方程即 x2+y2=1，表示单位圆．

④当m＜0，且m≠-1时，曲线方程即 x2+=1，表示椭圆．

（1）根据题意，将C沿x轴、正向平移t单位长度后，x变为x-t，将C沿y轴正向平移s单位长度后，y 变为y-s；

则可得，C1：y-s=（s-t）3-（x-t）．①

（2）证明：设P1（x1，y1）为曲线C1上任意一点，

它关于点A（，）的对称点为：P（t-x1，s-y1），

把P点坐标代入曲线C的方程，左=s-y1，右=（t-x1）3-（t-x1）．

由于P1在曲线C1上，

∴y1-s=（x1-t）3-（x1-t）．

∴s-y1=（t-x1）3-（t-x1）

即点P（t-x1，s-y1）在曲线C上．

同理可证：曲线C上任意一点关于点A的对称点都在曲线C1上．

∴曲线C与C1关于点A（，）对称．

（1）设点P的坐标为（x，y），则Q（x，-2），

∵⊥∴•=0…（2分）

∴x2-2y=0，

当x=0时，P、O、Q三点共线，不符合题意，故x≠0．

∴曲线C的方程为x2=2y（x≠0）．

（2）设点P的坐标（x0，y0），∴A（x0，0）∵=∴=(0，-y0)

∵≠0∴直线PB的斜率k=…（5分）

∵x02=2y0∴k=x0∴直线PB的方程为y=x0x-y0…（6分）

代入x2=2y得x2-2x0x+2y0=0，∵△=4x02-8y0=0

∴直线PB与曲线C1相切．…（7分）

（3）不妨设C1、C2的一个交点为N（x1，y1），C1的方程为y=x2

则在C1上N点处切线的斜率为y′=x1．C2上过N点的半径的斜率为k=

x1=，

又y1=x12，得y1=-a，x12=-2a…（10分）

∵N（x1，y1）在圆C2上，∴-2a+4a2=2，∴a=-或a=1

∵y1＞0∴a＜0，∴a=-…（12分）

（1）曲线C1的方程为 y=（x-t）3-（x-t）+s．

（2）证明：在曲线C上任取一点B1（x1，y1）．设B2（x2，y2）是B1关于点A的对称点，

则有=，=，所以x1=t-x2，y1=s-y2．

代入曲线C的方程，得x2和y2满足方程：

s-y2=（t-x2）3-（t-x2），即y2=（x2-t）3-（x2-t）+s，可知点B2（x2，y2）在曲线C1上．

反过来，同样可以证明，在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上．

因此，曲线C与C1关于点A对称．

（3）证明：因为曲线C与C1有且仅有一个公共点，所以，方程组有且仅有一组解．

消去y，整理得 3tx2-3t2x+（t3-t-s）=0，这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根．

所以t≠0并且其根的判别式△=9t4-12t（t3-t-s）=0，即

所以s=-t且t≠0．