曲线与方程_章节学习

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题型：填空题

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填空题

曲线y=和y=x2在它们的交点处的两条切线互相垂直，则a的值是______．

正确答案

曲线y=和y=x2的交点的横坐标是a13，它们的斜率分别是=-a13和 2x=2a13，

∵切线互相垂直，∴-a13•2a13=-1，∴a=±，故答案为 a=±．

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题型：填空题

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填空题

方程为x2+y2+4x=x-y+1的曲线上任意两点之间距离的最大值为______．

正确答案

方程 x2+y2+4x=x-y+1 即 (x+

3

2

)2+ (y+

1

2

)2= ，

表示以（-，-）为圆心，以为半径的圆，

故x2+y2+4x=x-y+1的曲线上任意两点之间距离的最大值为圆的直径，

故答案为．

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题型：填空题

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填空题

阅读问题：“已知曲线C1：xy+2x+2=0与曲线C2：x-xy+y+a=0有两个公共点，求经过这两个公共点的直线方程．”

曲线C1方程与曲线C2方程相加得3x+y+2+a=0，这就是所求的直线方程．

若曲线x2+2y2=1与曲线3y2=ax+b有3个公共点，且它们不共线，则经过这3个公共点得圆的方程是______．

正确答案

∵x2+2y2=1①，3y2=ax+b②

①×3-②，得，3x2+3y2=3-ax-b

即3x2+3y2+ax+b-3=0

∴经过这3个公共点得圆的方程是3x2+3y2+ax+b-3=0

故答案为3x2+3y2+ax+b-3=0

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题型：简答题

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简答题

将圆x2+y2=8上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，得到曲线C．设直线l与曲线C相交于A、B两点，且M，其中M是曲线C与y轴正半轴的交点．

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）证明：直线l的纵截距为定值．

正确答案

（Ⅰ）设所求曲线C上的任一点坐标为（x，y），圆x2+y2=8上的对应点的坐标为（x'，y'），由题意可得，…（3分）

∵x'2+y'2=8，x2+2y2=8，即∴曲线C的方程为+=1． …（5分）

（Ⅱ）∵M（0，2），显然直线l与x轴不垂直，设直线l：y=kx+m，与椭圆C：+=1相交于A（x1，y1），B（x2，y2），

由得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-8=0，…（7分）

∴x1+x2=， x1x2=，…（8分）

∴（x1，y1-2）•（x2，y2-2）=0，…（10分）

即：x1x2+（y1-2）（y2-2）=0⇒x1x2+y1y2-2（y1+y2）+4=0，∴x1x2+（kx1+m）（kx2+m）-2（kx1+m+kx2+m）+4=0，

整理得：（k2+1）x1x2+k（m-2）（x1+x2）+（m-2）2=0，…（12分）

即(k2+1)+k(m-2)+(m-2)2=0，

∵m≠2，2（k2+1）（m+2）-4k2m+（2k2+1）（m-2）=0，

展开得：3m+2=0，∴m=-，∴直线l的纵截距为定值-． …（14分）

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题型：简答题

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简答题

已知曲线C上任一点P到直线x=1与点F（-1，0）的距离相等．

（1）求曲线C的方程；

（2）设直线y=x+b与曲线C交于点A，B，问在直线l：y=2上是否存在与b无关的定点M，使得直线MB与MA关于直线l对称，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．

正确答案

（1）依题意，曲线C为抛物线，且点F（-1，0）为抛物线的焦点，x=1为其准线，

则抛物线形式为y2=-2px，由=1，得p=2，

则曲线C的方程为y2=-4x．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），假设存在点M（a，2）满足条件，则kAM+kBM=0

即+=0，即x2y1+x1y2-2（x1+x2）-a（y1+y2）=0①

而x1=-，x2=-，②

整理得y1y2（y1+y2）+4a（y1+y2）-2（y12+y22）-16a=0，

即为：y1y2（y1+y2）+4a（y1+y2）-2[（y1+y2）2-2y1y2]-16a=0，③

由得：y2+4y-4b=0，

则y1+y2=-4，y1y2=-4b，④

将④代入③得：-4b×（-4）+4a×（-4）-2[（-4）2+8b]-16a=0，即a=-1．

因此，存在点M（-1，2）满足题意．

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题型：简答题

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简答题

坐标平面上满足方程式(+)(-)=0的点（x，y）所构成的图形为

（1）只有原点

（2）椭圆及原点

（3）两条相异直线

（4）椭圆及双曲线

（5）双曲线及原点．

正确答案

由(+)(-)=0得 (+)(-)(+)=0，

即 +=0或-=0或+=0，

由+=0得x=y=0，表示点（0，0 ）．

而 -=0，+=0代表相交于（0，0）的两相异直线，

故答案为（3）．

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题型：简答题

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简答题

抛物线y2=12x与2x2=3y的公共弦的长度是多少？

正确答案

由

解方程组得两公共点为（0，0）及（3，6）

故其公共弦长为：=3．

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题型：简答题

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简答题

已知动点M（x，y）到直线l：x=4的距离是它到点N（1，0）的距离的2倍．

（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；

（Ⅱ）过点P（0，3）的直线m与轨迹C交于A，B两点．若A是PB的中点，求直线m的斜率．

正确答案

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题型：填空题

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填空题

若曲线+=1的焦点为定点，则焦点坐标是______．

正确答案

曲线+=1的焦点为定点，当 a-4 和 a+5符号相同时，曲线表示焦点在y轴上的椭圆，

c==3，故焦点坐标是（0，±3）．

当 a-4 和 a+5符号相反时，曲线表示焦点在y轴上的双曲线，标准方程为 - =1，

双曲线的标准方程为 - =1，∴焦点在y轴上，c==3，

故焦点坐标是（0，±3）．

故答案为：（0，±3）．

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题型：填空题

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填空题

下列关于曲线5x2y2+y4=1的描述中：①该曲线是封闭曲线 ②图象关于原点对称③曲线上的点到原点的最短距离为正确的序号是______．

正确答案

曲线5x2y2+y4=1 即 y2（5x2+y2）=1，显然，y≠0．故表示的曲线不是封闭曲线，故①不正确．

把曲线方程中的（x，y ）同时换成（-x，-y ），方程不变，故曲线关于原点对称，故②正确．

令 t=x2+y2，则 x2=t-y2，代入5x2y2+y4=1

化简得t==+≥2=，

故t 的最小值等于．

∴曲线上的点到原点的距离的最小值为，故③正确．

故答案为 ②③．

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