热门试卷

解：（1）设椭圆Q：（a＞b＞0）上的点A（x1，y1）、B（x2，y2），

又设P点坐标为P（x，y），

则

1°当AB不垂直x轴时，x1≠x2，

由（1）-（2）得b2（x1-x2）2x+a2（y1-y2）2y=0

∴

∴b2x2+a2y2-b2cx=0（3）

2°当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程（3）

故所求点P的轨迹方程为：b2x2+a2y2-b2cx=0。

（2）因为轨迹H的方程可化为：

∴M（，），N（，-），F（c，0），

使△MNF为一个正三角形时，则

tan==，即a2=3b2由于，，

则1+cosθ+sinθ=3sinθ，

得θ=arctan。

解：如图，（1）设椭圆Q：（a＞b＞0）上的点A（x1，y1）、B（x2，y2），又设P点坐标为P（x，y），

则

1°当AB不垂直x轴时，x1≠x2，

由（1）-（2）得b2（x1-x2）2x+a2（y1-y2）2y=0

∴

∴b2x2+a2y2-b2cx=0（3）；

2°当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程（3）

故所求点P的轨迹方程为：b2x2+a2y2-b2cx=0。

（2）因为，椭圆Q右准线l方程是x=，原点距l的距离为

由于c2=a2-b2，a2=1+cosθ+sinθ，b2=sinθ（0＜θ≤）

则==2sin（+）

当θ=时，上式达到最大值。

此时a2=2，b2=1，c=1，D（2，0），|DF|=1

设椭圆Q：上的点 A（x1，y1）、B（x2，y2），

三角形ABD的面积S=|y1|+|y2|=|y1-y2|

设直线m的方程为x=ky+1，代入中，得

（2+k2）y2+2ky-1=0

由韦达定理得y1+y2=，y1y2=

令t=k2+1≥1，得

当t=1，k=0时取等号

因此，当直线m绕点F转到垂直x轴位置时，三角形ABD的面积最大。

（1）证明：曲线C的方程可变形为（x2+y2﹣20）+（﹣4x+2y+20）a=0．

由，

解得

∴点（4，﹣2）满足C的方程，

故曲线C过定点（4，﹣2）．

（2）证明：原方程配方得（x﹣2a）2+（y+a）2=5（a﹣2）2，

∵a≠2，

∴5（a﹣2）2＞0

∴C的方程表示圆心是（2a，﹣a），半径是|a﹣2|的圆

设圆心坐标为（x，y），则有，

消去a可得y=﹣x，

故圆心必在直线y=﹣x上．

（3）解：由题意得5|a﹣2|=|a|，解得a=．

解：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，

则设直线的方程为y=kx+1，

它被双曲线截得的弦为AB对应的中点为P（x，y），

由得，（*）

设方程（*）的解为，

则，

∴，且，

∴，

，

得或。

解：（1）椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2，

又点A（1，）在椭圆上，

因此，得b2=3，于是c2=1，

所以椭圆C的方程为，焦点F1（-1，0），F2（1，0）。

（2）设椭圆C上的动点为K（x1，y1），线段F1K的中点Q（x，y）满足：，

即x1=2x+1，y1=2y，

因此，

即为所求的轨迹方程。

（3）类似的性质为：若M、N是双曲线：上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值，

设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（-m，-n），其中，

又设点P的坐标为（x，y），

由，得

kPMkPN=，

将代入，得kPMkPN=。

解：（1）联立y=x2与y=x+2得，

则AB中点，

设线段PQ的中点M坐标为（x，y），

则，

又点P在曲线C上，

∴，

化简可得，

又点P是L上的任一点，且不与点A和点B重合，

则，

∴中点M的轨迹方程为。

（2）曲线G：，

即圆E：，其圆心坐标为E（a，2），半径，

由图可知，当时，曲线G：与点D有公共点；

当a＜0时，要使曲线G：与点D有公共点，

只需圆心E到直线l：x-y+2=0的距离，得，

则a的最小值为。

解：（1）当a＜0时，曲线C的轨迹是焦点在x轴上的双曲线；

当a=0时，曲线C的轨迹是两条平行的直线x=1和x=﹣1；

当0＜a＜1时，曲线C的轨迹是焦点在y轴上的椭圆；  

当a=1时，曲线C的轨迹是圆 x2+y2=1；          

当a＞1时，曲线C的轨迹是焦点在x轴上的椭圆．      

（2）由 ，得（a+1）x2﹣2ax+a﹣1=0…①

因为a≠﹣1，

所以方程①为一元二次方程，△=4a2﹣4（a+1）（a﹣1）=4＞0，

所以直线l与曲线C必有两个交点．       

设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1，x2为方程①的两根，

所以x1+x2= ，x1x2= ，

所以|MN|= |x1﹣x2|= × = ，

所以a2+2a﹣3=0，解得a=1或a=﹣3．  

因此曲线C的方程为x2+y2=1或x2﹣3y2=1．

解：（Ⅰ）由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零，

所以，

整理得（λ≠0，x≠±1）。

（Ⅱ）①当λ＞0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线（除去顶点）；

②当-1＜λ＜0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆（除去长轴两个端点）；

③当λ=-1时，轨迹C为以原点为圆心，1的半径的圆除去点(-1，0)，(1，0)；

④当λ＜-1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆（除去短轴的两个端点）。

（Ⅲ）当λ=-2时，轨迹C为椭圆（x≠±1） ，

由题意知，l的斜率存在，设l的方程为y=kx+1，

代入椭圆方程中整理，得， （*）

设，，则x1，x2的方程（*）的两个实根，

∴，，

∴

，

当k=0时，取“=”，

∴k=0时，△OAB的面积取最大值为。

由题意，，∴x≥5

∴≥4，≥3，≥0，

∴3+4+5≥24

∵3+4+5=

∴≥24

∵x≥5，∴≤24

∴=24

∴x=5

故答案为：{5}