热门试卷

（1）设p（x，y）

由•=m，得y2=m（x2-9），

若m=-1，则方程为x2+y2=9，轨迹为圆（除A B点）；

若-1＜m＜0，方程为+=1，轨迹为椭圆（除A B点）；

若m＞0，方程为-=1，轨迹为双曲线（除A B点）．

（2）m=-时，曲线C方程为+=1，设ℓ1的方程为：x=ty+2

与曲线C方程联立得：（5t2+9）y2+20ty-25=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=①，y1y2=②，

可得R(，)，k1k2=•(-)=-．

（3）由=λ得y2=-λy1代入①②得：(1-λ)y1=③，λ=④，

③式平方除以④式得：-2+λ=，

而-2+λ在λ∈[2，3]上单调递增，≤-2+λ≤，≤≤2，ℓ1在y轴上的截距为b，b2=(-)2=∈[，12]，b∈[-2，-]∪[，2]．

（1）由题设可得动点P的轨迹方程为x2=4y．（4分）

（2）由（1），可设直线BC的方程为：y=k(x-x2)+（k＞0），，

易知x2、x3为该方程的两个根，故有x2+x3=4k，得x3=4k-x2，

从而得|BC|=(x3-x2)=2(2k-x2)（6分）

类似地，可设直线AB的方程为：y=-(x-x2)+，

从而得|AB|=(2+kx2)，（8分）

由|AB|=|BC|，得k2•（2k-x2）=（2+kx2），

解得x2=，l=f(k)=（k＞0）．（10分）

（3）因为l=f(k)=≥=4，（12分）

所以S=l2≥32，即S的最小值为32，

当且仅当k=1时取得最小值．（14分）

（II）原函数的图象与反函数的图象的交点不一定在直线y=x上．

（III）证明：设（a，b）是f（x）的图象与其反函数的图象的任一点，

由于原函数与反函数的图象关于直线y=x对称，

则（b，a）也是f（x）的图象与反函数的图象的交点，

且b=f（a），a=f（a），

若a＞b时，交点显然在y=x上．

若a＜b，且f（x）是增函数时，有f（b）＜f（a），从而b＜a．矛盾；

若b＜a，且f（x）是增函数时，有f（a）＜f（b），从而a＜b．矛盾；

若a＜b，且f（x）是减函数时，有f（b）＜f（a），从而a＜b．此时交点不在y=x上；

若b＜a，且f（x）是减函数时，有f（a）＜f（b），从而b＜a．此时交点不在y=x上．

综上所述，f（x）单调递增，且f（x）的图解与其反函数的图象有交点时，交点在y=x上；f（x）单调递减，且f（x）的图解与其反函数的图象有交点时，交点不在y=x上．

（1）由题意知A（a，0），B（0，b），∴直线l方程为+=1，即bx+ay-ab=0

曲线C表示一个圆，圆心C（1，1），半径r=1…（2分）∵直线与圆相切，∴=1，…（4分）

两边平方整理得ab+2-2a-2b=0，即（a-2）（b-2）=2…（5分）

（2）设线段AB中点为M（x，y），由中点坐标公式得x=＞1，y=＞1，即…（7分）a=2x，b=2y，代入（a-2）（b-2）=2得（2x-2）（2y-2）=2…（8分）

整理得AB中点M的轨迹方程为(x-1)(y-1)=(x＞1，y＞1)…（9分）

（3）S△AOB=ab=[-2+2(a+b)]=-1+a+b=（a-2）+（b-2）+3≥3+2=3+2…（11分）（当且仅当a-2=b-2，又（a-2）（b-2）=2，即a=b=2+时取得等号）…（12分）

故△AOB面积的最小值为3+2…（13分）

（1）令f'（x）=（-x3+3x+2）'=-3x2+3=0解得x=1或x=-1

当x＜-1时，f'（x）＜0；当-1＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0

所以，函数在x=-1处取得极小值，在x=1取得极大值，

故x1=-1，x2=1，f（-1）=0，f（1）=4

所以点A、B的坐标为A（-1，0），B（1，4）；

（2）由题意，=(1+x，y)，=(mx-m，2y)

∵•=1-m

∴（1+x）（mx-m）+2y2=1-m

∴mx2+2y2=1

①m=0时，y=±，表示两条平行直线；

②m=2时，x2+y2=，表示原点为圆心，半径为的圆；

③m＜0时，-=1，表示焦点在y轴上的双曲线；

④m＞0时，+=1，若0＜m＜2，表示焦点在x轴上的椭圆；若m＞2，表示焦点在y轴上的椭圆．