热门试卷

解（1）设点M的坐标为（x，y），

由=-．得P(0，-)，Q(，0)，

由•=0，得(3，-)•(x，)=0，

所以y2=4x由点Q在x轴的正半轴上，得x＞0，

所以，动点M的轨迹C是以（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线，除去原点．

（2）设直线l：y=k（x+1），其中k≠0代入y2=4x，得k2x2+2（k2-2）x+k2=0①

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程①的两个实数根，由韦达定理得x1+x2=-，x1x2=1

所以，线段AB的中点坐标为(，)，线段AB的垂直平分线方程为y-=-(x-)，

令y=0，x0=+1，所以，点E的坐标为(+1，0)．

因为△ABE为正三角形，所以，点E(+1，0)到直线AB的距离等于|AB|，而|AB|==•．

所以，=解得k=±，所以x0=．

解．（1）∵双曲线-x2=1的上支可表示为函数y=，且y′=×=

设P（x0，y0）是双曲线上任一点，则双曲线在该点处的切线为y-y0=（x-x0）

即y-y0=（x-x0），即y0y-3x0x=3，

与渐近线方程y=x联立，解得A(，)（由于P不在双曲线的渐近线上，故y0±x0≠0）；

与渐近线y=-x联立，解得B(，)，

∴•=+=+=2（定值）

（2）设M（x，y）为所求轨迹上一点，由=知=+，由（1）有

即

再由P（x0，y0）在双曲线-x2=1 （y＞0）上

∴-=1，

∴-=1

故所求轨迹为-=1(y＞0)．

（1）设B（-1，m），C（x1，y1），

由2=+，得：2（x1，y1）=（1，0）+（-1，m），解得x1=0，y1=（2分）

设M（x，y），由，得⇒，（4分）

消去m得E的轨迹方程y2=4x（6分）

（2）由题设知C为AB中点，MC⊥AB，故MC为AB的中垂线，MB∥x轴，

设M（，y0），则B（-1，y0），C（0，），

当y0≠0时，kMC=，MC的方程y=x+（8分）

将MC方程与y2=4x联立消x，整理得：y2-2y0y+y02=0，

它有唯一解y=y0，即MC与y2=4x只有一个公共点，

又kMC≠0，所以MC为y2=4x的切线（10分）

当y0=0时，显然MC方程x=0为轨迹E的切线

综上知，MC为轨迹E的切线．

（I）椭圆方程可写为：+=1式中a＞b＞0，且得a2=4，b2=1，

所以曲线C的方程为：x2+=1（x＞0，y＞0）．y=2（0＜x＜1）y'=-

设P（x0，y0），因P在C上，有0＜x0＜1，y0=2，y'|x=x0=-，得切线AB的方程为：

y=-（x-x0）+y0．

设A（x，0）和B（0，y），由切线方程得x=，y=．

由=+得M的坐标为（x，y），由x0，y0满足C的方程，得点M的轨迹方程为：

+=1（x＞1，y＞2）

（Ⅱ）||2=x2+y2，y2==4+，

∴||2=x2-1++5≥4+5=9．

且当x2-1=，即x=＞1时，上式取等号．

故||的最小值为3．

解：（Ⅰ）设点P（x，y）为所求轨迹上的任意一点，

则由得，

整理得轨迹C的方程为（且）。

（Ⅱ）设，

由可知直线PQ∥OA，

则，故，

即，

由O、M、P三点共线可知，与共线，

∴，

由（Ⅰ）知，

故，

同理，由与共线，

∴，

即，

由（Ⅰ）知，故，

将代入上式得，

整理得，

由得，

由，得到，

因为PQ∥OA，所以，

由，得，

∴P的坐标为（1，1）。

（本题满分12分）

（Ⅰ）直线PA和PB的斜率分别为与，（x≠±），…（2分）

∵点P（x，y）与点A(-，0)，B(，0)连线的斜率之积为1，

∴• =1，

即y2=x2-2，…（4分）

所求点P的轨迹方程为x2-y2=2，（x≠±）．…（5分）

（Ⅱ）设E（x1，y1），F（x2，y2），

设过点Q（2，0）的直线为y=k（x-2），…（6分）

将它代入x2-y2=2，

得（k2-1）x2-4k2x+4k2+2=0．…（7分）

由韦达定理，得，…（8分）

∴•=(x1-1，y1)•(x2-1，y2)

=x1x2-（x1+x2）+1+y1y2

=x1x2-(x1+x2)+1+k2(x1-2)•(x2-2)

=（1+k2）x1x2-（1+2k2）（x1+x2）+1+4k2

=（1+k2）•-（1+2k2）•+1+4k2

=-1．    …（10分）

当直线斜率不存在时，

，解得E（2，），F（2，-），

此时•=(1，)•(1，-)=-1．    …（12分）

故•=-1．

所以•为常数-1．…（12分）

由条件知F1（-2，0），F2（2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）

（I）设M（x，y），则=(x+2，y)，=(x1+2，y1)，=(x2+2，y2)，=(2，0)，

由=++，得，即，

于是AB的中点坐标为(，)，

当AB不与x轴垂直时，==，即y1-y2=(x1-x2)，

又因为A，B两点在双曲线上，所以x12-y12=2，x22-y22=2，

两式相减得（x1-x2）（x1+x2）=（y1-y2）（y1+y2），即（x1-x2）（x-4）=（y1-y2）y，

将y1-y2=(x1-x2)代入上式，化简得（x-6）2-y2=4，

当AB与x轴垂直时，x1=x2=2，求得M（8，0），也满足上述方程，

所以点M的轨迹方程是（x-6）2-y2=4．

（II）假设在x轴上存在定点C（m，0），使•为常数，

当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y=k（x-2）（k≠±1），

代入x2-y2=2有（1-k2）x2+4k2x-（4k2+2）=0

则x1，x2是上述方程的两个实根，所以x1+x2=，x1x2=，

于是•=(x1-m)(x2-m)+k2(x1-2)(x2-2)

=（k2+1）x1x2-（2k2+m）（x1+x2）+4k2+m2=-+4k2+m2

=+m2

=2(1-2m)++m2．

因为•是与k无关的常数，所以4-4m=0，即m=1，此时•=-1，

当AB与x轴垂直时，点A，B的坐标可分别设为(2，)，(2，-)，

此时•=(1，)•(1，-)=-1，

故在x轴上存在定点C（1，0），使•为常数．