热门试卷

（1）∵动圆过定点P（0，1），且与定直线y=-1相切

故圆心到点P（0，1）的距离等于半径，

且圆心到直线y=-1的距离等于半径，

即圆心到定点P（0，1），及定直线y=-1的距离相等

圆心轨迹M是以P（0，1）为焦点，直线y=-1为准线的抛物线，

故它的方程是x2=4y------------------------------------------------5′

（2）直线l过点Q（0，-1），且以=(-1，-k)为方向向量，所以直线方程为y=kx-1，

代入x2=4y得x2-4kx+4=0，

由△=16k2-4×1×4＞0得k＜-1，或k＞1①-------------------------------------7′

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4k，x1x2=4

所以=(x1，y1-1)，=(x2，y2-1)，∵∠PDB为钝角，∴•＜0

即x1x2+（y1-1）（y2-1）=x1x2+（kx1-2）（kx2-2）=（1+k2）x1x2-2k（x1+x2）+4＜0------------------------------------------------------------------10′

即4（1+k2）-2k×4k+4＜0，解得k＜-，或k＞②------------------------------12′

由①②得k＜-，或k＞-------------------------------------------------------------------------14′

（I）设P（x，y），则=（x，y-1），

又=（1，0），=（0，1），=cosθ•+sinθ•(θ∈R)

∴有（x，y-1）=（cosθ，sinθ），

∴，x2+（y-1）2=1．

（II）当斜率不存在时，直线方程为x=1，满足题意；

当斜率存在时，设直线方程为y-3=k（x-1），即kx-y-k+3=0

∵直线与圆相切，∴=1，∴k=

∴切线方程为3x-4y+9=0

综上，所求切线方程为x=1或3x-4y+9=0．

（Ⅰ）设点M（x，y），由题意得点F（，0），•= -1，化简可得 x2+y2=2，

故曲线C的方程为  x2+y2=2，表示以原点为圆心，以为半径的圆．

（Ⅱ）∵点(0，)是圆和y轴的交点，经过点(0，)且斜率为k的直线l与曲线C有两个不同的交点P和Q，

∴线l与曲线C不能相切，∴k≠0．

（Ⅲ） 把直线l的方程 y-=k（x-0）代入曲线C的方程 x2+y2=2 得，（1+k2）x2+2kx=0．

设P（x1，y1 ），Q（x2，y2），则  x1+x2=-，x1•x2=0．

∴+=（x1+x2，kx1++kx2+ ）=（-，-+2 ）．

由B（0，），A(，0)，∴=（-， ）．∵向量+与共线，

∴-•-（-）（-+2 ）=0，=0，∴k=1．

即存在常数 k=1 满足题中的条件．

（I）设点P（x0，y0）是椭圆上一点，

则Q（x0，0），M（x，y），=(x-x0，y-y0)，=(x0-x，-y)．

∵=2，（1分）

∴

∴即点P的坐标为（x，3y）．（3分）

点P在椭圆上，代入椭圆方程得：9x2+18y2=18．

即曲线E的方程为x2+2y2=2．（5分）

（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），

将直线方程y=x+m与9x2+18y2=18联立

去y，得3x2+4mx+2m2-2=0．

由△=（4m）2-12（2m2-2）＞0，解得0≤m2＜3．

x1+x2=-，x1•x2=．（7分）

由•＞得x1•x2+y1•y2＞．

 而x1x2+y1y2=x1x2+（x1+m）•（x2+m）

=2x1x2+m（x1+x2）+m2=2×+m(-)+m2=m2-（10分）

∴m2-＞，即m2＞2，又0≤m2＜3，

∴2＜m2＜3．

∴实数m的取值范围是(-， -)∪(， )．（12分）

（1）设C（x，y），

由①知，G为△ABC的重心，

∴G（，）

由②知M是△ABC的外心，∴M在x轴上．

由③知M（，0），

由||=|得=

化简整理得：+y2=1（x≠0）；

（2）将y=x+t代入椭圆方程，可得4x2+6tx+3t2-3=0，

由△＞0，可得t2＜4

设P（x1，y1），Q（x2，y2）

则x1+x2=-t，x1•x2=

∴SPAQB=|AB||x1-x2|=•

∴t=0时，四边形PAQB面积的最大值为．

（1）设C（x，y），则G(，)．

∵=λ（λ∈R），∴GM∥AB．又M是x轴上一点，则M(，0)．

又∵||=||，∴=．整理得+y2=1(x≠0)．

（2）由（1），知F1(-，0)，F2(，0)．设直线l的方程为x=ty+，

由（1），知x≠0，∴l不过点（0，±1），∴t≠±

设P（x1，y1），Q（x2，y2），将x=ty+代入x2+3y2=3，(t2+3)y2+2ty-1=0．

∴△=8t2+4（t2+3）=12（t2+1）＞0恒成立．∴y1+y2=，y1•y2=-．

∴|y1-y2|===．

∴S△F1PQ=|F1F2|•|y1-y2|=|y1-y2|=2(t≠±)．

∴S△F1PQ=≤=．

当且仅当t2+1=2，即t=±1时取“=”

所以△F1PQ的最大值为，此时直线l的方程为x±y-=0．

（1）设AB的中点坐标为（x，y），

由题意可知a=2x，b=2y，直线l的方程为 +=1，即bx+ay-ab=0．

曲线C的方程可化为（x-1）2+（y-1）2=1，

所以曲线C为圆．

圆心到直线l的距离 d=，

当d=1时，直线与圆相切，

即 =1，整理得（a-2）（b-2）=2，

线段AB中点的轨迹方程为：（x-1）（y-1）=1，x＞1，y＞1．

（2）由（1）得到（a-2）（b-2）=2且a＞2，b＞2，

所以ab=2（a+b）-2≥4 -2，当且仅当a=b时取等号，

所以当a=b时，ab最小即三角形的面积最小，则三角形AOB为等腰直角三角形

则ab=4+6，此时a=b==+2，

所以ab的最小值为：4+6．