热门试卷

（1）∵过点P（x，y）的直线分别与x轴和y轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，

∴Q（-x，y），设A（a，0），B（0，b），

∵O为坐标原点，∴=（x，y-b），=（a-x，-y），=（-x，y），=(-a，b)，

∵=3且•=4，

∴，

解得点P的轨迹M的方程为+y2=1．

（2）设过F（2，0）的直线方程为y=kx-2k，

联立，得（3k2+1）x2-12k2x+12k2-3=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，

=（x1-2，y1），=（x2-2，y2），

∴•=（x1-2）（x2-2）+y1y2

=（1+k2）（x1-2）（x2-2）

=（1+k2）[x1x2-2（x1+x2）+4]

=（1+k2）（-+4）

=

=+，

∴当k2→∞•的最小值→；当k=0时，•的最大值为1．

∴•的取值范围是（，1]．

（1）圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x-1）2+y2=9，

设动圆P半径为R．

∵M在N内，∴动圆只能在N内与N内切，不能是N在动圆内，即：R＜3

动圆P与圆M外切，则PM=1+R，

动圆P与圆N内切，则PN=3-R，

∴PM+PN=4，即P到M和P到N的距离之和为定值．

∴P是以M、N为焦点的椭圆．

∵MN的中点为原点，故椭圆中心在原点，

∴2a=4，a=2，2c=MN=2，c=1，

∴b2=a2-c2=4-1=3，

∴C的方程为+=1（x≠2）；

（2）证明：联立，得（k2+3）x2+2kmx+m2-12=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

x1+x2=-，x1x2=，

y1y2=（kx1+m）（kx2+m）

=k2x1x2+km(x1+x2)+m2

=k2•+km•(-)+m2

=．

设右顶点S（2，0），

则=(x1-2，y1)，=(x2-2，y2)，

又以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，

∴•=0，

即（x1-2）（x2-2）+y1y2=0，x1x2-2（x1+x2）+4+y1y2=0．

∴-2•(-)+4+=0，

整理得：（m-k）（m+2k）=0，

∴k=m或k=-．

当k=m时，直线l为y=mx+m=m（x+1），直线过定点（-1，0）；

当k=-，直线l为y=-x+m=m(-+1)，直线过定点（2，0），不合题意．

∴直线l过定点（-1，0）．

（1）证明：由题意知，直线l的方程为+=1，

即bx+ay-ab=0．

曲线C的方程配方得（x-1）2+（y-1）2=1，

∴直线l与圆C相切的充要条件是1=，

整理得ab-2a-2b+2=0，

即（a-2）（b-2）=2；

（2）设AB的中点为M（x，y），

则由中点坐标公式得：a=2x，b=2y，代入（a-2）（b-2）=2，得

（2x-2）（2y-2）=2，

即 （x-1）（y-1）=（其中x＞1，y＞1），

∴线段AB中点的轨迹方程为：（x-1）（y-1）=（其中x＞1，y＞1）．

（Ⅰ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x0，y0），依题意x1≠0，y1＞0，y2＞0．

由y=x2，①

得y'=x．

∴过点P的切线的斜率k=x1，

∴直线l的斜率kl=-=-，

∴直线l的方程为y-x12=-（x-x1），②

联立①②消去y，得x2+x-x12-2=0．

∵M是PQ的中点

∴x0==-，y0=x12-（x0-x1）

消去x1，得y0=x02++1（x0≠0），

∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1（x≠0）．

（Ⅱ）设直线l：y=kx+b，依题意k≠0，b≠0，则T（0，b）．

分别过P、Q作PP'⊥x轴，QQ'⊥y轴，垂足分别为P'、Q'，则+=+=+．

由y=x2，y=kx+b消去x，得y2-2（k2+b）y+b2=0．③

则y1+y2=2（k2+b），y1y2=b2．

∴+=|b|（+）≥2|b|=2|b|=2．

∵y1、y2可取一切不相等的正数，

∴+的取值范围是（2，+∞）．

设线段AB中点为M（x，y），B（m，n），则m=2x-4，n=2y-3

∵端点A在圆x2+y2=4上运动，

∴m2+n2=4

∴（2x-4）2+（2y-3）2=4

∴（x-2）2+（y-）2=1

∴线段AB中点M的轨迹是以（2，）为圆心，1为半径的圆．

①∵a，b，r是常数，且r为正数，θ为变量，且，

∴有：⇒（x-a）2+（y-b）2=r2．                         …（3分）

所以，在直角坐标系中，表示的是以（a，b）为圆心，r为半径的圆．            …（6分）

②∵点P为圆C：（x-2）2+（y-3）2=4上任意一点，故由①可设点P的坐标为（2+2cosθ，3+2sinθ）．      …（8分）

∴=(2+2cosθ，3+2sinθ)，=(1+2cosθ，3+2sinθ)．   …（10分）

故•=(2+2cosθ)(1+2cosθ)+(3+2sinθ)2

⇒•=15+6cosθ+12sinθ=15+6sin(θ+φ)…（12分）

又∵-1≤sin（θ+φ）≤1，∴15-6≤•≤15+6．     …（13分）

（I）由题意得 圆心F（1，0），半径等于下，|PA|=|PB|，

∴|PF|+|PA|=|PF|+|PB|=|BF|=半径下＞|AF|，故点P的轨迹是以A、F 为焦点的椭圆，

下a=下，c=1，∴b=1，∴椭圆的方程为 +y下=&二bsp;1．

（II）&二bsp;设存在满足条件的直线l，则直线l的斜率存在，设直线l的方程为 y=kx+下，设 R （x1，y1&二bsp;），

T（x下，y下），∵•=0，∴x1x下+y1y下=0&二bsp;&二bsp;&二bsp;&二bsp;&二bsp;①．

把线l的方程 y=kx+下代入椭圆方程化简可得 （下k下+1）x下+8kx+6=0，∴x1+x下=，

x1x下=，∴y1y下=（kx1+下）（kx下+下）=k下x1x下+下k（x1+x下）+4，

∴x1x下+y1y下=（k下+1）+下k +4==0，

∴k=&二bsp; 或-．满足△＞0，故存在满足条件的直线l，其方程为 y=±&二bsp;x=下，

即 &二bsp;x-y+下=0，或 &二bsp;x+y-下=0．

（I）由题意知2a=|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=4＞2=|AB|=2c，（3分）

∴由定义得P点轨迹是椭圆，

且b2=a2-c2=3．

因此，曲线E的方程为+=1.（5分）

（II）由条件知直线CM，CN的斜率存在且不为0，

设直线CM的方程为y=k(x+1)+，

由消去y，

整理得（4k2+3）x2+4k（2k+3）x+4k2+12k-3=0

∵C在椭圆上，

∴方程两根为-1，x1∴-x1=，x1=-.（9分）

∵直线PM，PN的倾斜角互补，

∴直线PM，PN的斜率互为相反数，

∴x2=-.（11分）

则x1-x2=，x1+x2=.

又y1=k(x1+1)+，y2=-k(x2+1)+，

∴y1-y2=k(x1+x2+2)=k(+2)=.

∴直线MN的斜率KMN==-（定值）（13分）

（I）由题意得|PA|=|PB|且|PB|+|PF|=r=8．故|PA|+|PF|=8＞|AF|=4

∴P点轨迹为以A、F为焦点的椭圆．

设椭圆方程为+=1(a＞b＞0)

∴p点轨迹方程为+=1．

（II）假设存在满足题意的直线L．易知当直线的斜率不存在时，•＜0不满足题意．

故设直线L的斜率为k，R（x1，y1），T（x2，y2）．

∵•=，∴x1x2+y1y2=．

由得(3+4k2)x2-32kx+16=0．由△＞0得，(-32k)2-4(3+4k2)•16＞0解得k2＞．…①．

∴x1+x2=，x1•x2=．

∴y1•y2=（kx1-4）（kx2-4）=k2x1x2-4k（x1+x2）+16，

故x1x2+y1y2=+-+16=．解得k2=1．…②．

由①、②解得k=±1．

∴直线l的方程为y=±x-4．

故存在直线l：，x+y+4=0或x-y-4=0，满足题意．