曲线与方程_章节学习

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题型：填空题

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填空题

曲线与直线的交点坐标是______．

正确答案

（3，），（-1，）

解析

解：联立两函数的解析式，可得：

解得，

即曲线与直线的交点坐标是（3，），（-1，）．

故答案为：（3，），（-1，）．

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题型：填空题

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填空题

已知曲线C的方程为：x2+y2-2|x|-2|y|=0，P1、P2是曲线C上的两个点，则|P1P2|的最大值为______．

正确答案

解析

解：利用绝对值的几何意义可知曲线C表示x2+y2-2x-2y=0，x2+y2+2x|-2y=0，x2+y2+2x+2y=0，x2+y2-2x+2y=0，分别在各个象限的部分（包括与坐标轴的交点）

∵P1、P2是曲线C上的两个点，

∴|P1P2|的最大值为一、三（或二、四）象限的圆的圆心距加上2个半径的长

∴|P1P2|的最大值为2++=．

故答案为：．

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题型：单选题

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单选题

平面上动点A（x，y）满足+=1，B（-4，0），C（4，0），则一定有（　　）

A|AB|+|AC|＜10

B|AB|+|AC|≤10

C|AB|+|AC|＞10

D|AB|+|AC|≥10

正确答案

B

解析

解：+=1的图象如图所示，

∵B（-4，0），C（4，0），

∴|AB|+|AC|≤10，当且仅当A为（0，±3）时，等号成立．

故选：B．

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题型：简答题

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简答题

如图，圆弧BCD的圆心P在y轴上，直线AB切圆弧于B，若A（-3，0），，D（1，0）

（1）求曲线ABCD的方程；

（2）曲线ABCD和x轴围成的图形面积．

正确答案

解：（1）设圆心为E（0，a），则EC=ED，所以（+1-a）2=1+a2，解得a=1，所以圆的方程为x2+（y-1）2=2．

过AB的直线为y=k（x+3）（k＞0），则，∴k=1，切点坐标为（-1，2）

∴ABCD的方程，一段为AB：x-y+3=0（-3，-1），一段为BCD：x2+（y-1）2=2（）．

（2）连接BE，则BD为圆E的直径

∴曲线ABCD和x轴围成的图形面积等于Rt△ABD的面积加上半圆的面积

即

解析

解：（1）设圆心为E（0，a），则EC=ED，所以（+1-a）2=1+a2，解得a=1，所以圆的方程为x2+（y-1）2=2．

过AB的直线为y=k（x+3）（k＞0），则，∴k=1，切点坐标为（-1，2）

∴ABCD的方程，一段为AB：x-y+3=0（-3，-1），一段为BCD：x2+（y-1）2=2（）．

（2）连接BE，则BD为圆E的直径

∴曲线ABCD和x轴围成的图形面积等于Rt△ABD的面积加上半圆的面积

即

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题型：单选题

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单选题

设a，b∈R，ab≠0，则直线ax-y+b=0和曲线bx2+ay2=ab的大致图形是（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：整理曲线的方程得=1，整理直线方程得y=ax+b

对于A选项观察直线图象可知斜率小于0即，a＜0，b＞0

则曲线的方程的图象一定是双曲线，故A不符合．

B，D选项中，直线的斜率a＞0，截距b＜0，则曲线方程为双曲线，焦点在x轴，故B正确，D错误．

C项中直线斜率a＜0，则曲线一定不是椭圆，故C项错误．

故选B

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题型：填空题

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填空题

命题A：两曲线F（x，y）=0和G（x，y）=0相交于点P（x0，y0），命题B：曲线F（x，y）+λG（x，y）=0（λ为常数）过点P（x0，y0），则A是B的______条件．

正确答案

充分不必要

解析

解：∵命题A：两曲线F（x，y）=0和G（x，y）=0相交于点P（x0，y0），

∴F（x0，y0）=0，且G（x0，y0）=0，

∴F（x0，y0）+λG（x0，y0）=0，

∴命题B：曲线F（x，y）+λG（x，y）=0（λ为常数）过点P（x0，y0）成立，故充分性成立．

当命题B成立时，曲线F（x，y）+λG（x，y）=0（λ为常数）过点P（x0，y0），

∴F（x0，y0）+λG（x0，y0）=0，

但不能推出F（x0，y0）=0，且 G（x0，y0）=0，只能得出F（x0，y0）=-λG（x0，y0），

故必要性不成立，

故答案为：充分不必要条件．

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题型：简答题

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简答题

设A、B分别是直线y=x和y=-x上的两个动点，并且||=，动点P满足，记动点P的轨迹为C，求轨迹C的方程．

正确答案

解：设P（x，y），因为A，B分别是直线y=x和y=-x上的点，

故可设，

又，所以①，

因为，所以有，即．

代入①得：，即曲线C的方程为．

解析

解：设P（x，y），因为A，B分别是直线y=x和y=-x上的点，

故可设，

又，所以①，

因为，所以有，即．

代入①得：，即曲线C的方程为．

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题型：单选题

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单选题

方程=|x-y+3|表示的曲线是（　　）

A圆

B椭圆

C双曲线

D抛物线

正确答案

C

解析

解：由=|x-y+3|，

得．

即．

也就是动点（x，y）到定点（-3，1）的距离与到定直线x-y+3=0的距离的比等于．

符合双曲线的定义，

∴该方程表示的曲线是双曲线．

故选：C．

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题型：简答题

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简答题

已知曲线C：-=1，定点M（1，0），直线l经过点（0，1），斜率为t，与曲线C交于不同的两点A、B，设AB的中点为P，求直线MP的斜率k关于t的函数关系k=f（t）．

正确答案

解：设直线l的方程为y=tx+1，P（x，y），则k===t+，

y=tx+1代入曲线C：-=1，可得（2-t2）x2-2tx-9=0，

∵AB的中点为P，

∴x=，

∴k=t+=．

解析

解：设直线l的方程为y=tx+1，P（x，y），则k===t+，

y=tx+1代入曲线C：-=1，可得（2-t2）x2-2tx-9=0，

∵AB的中点为P，

∴x=，

∴k=t+=．

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题型：填空题

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填空题

已知实数x，y满足方程x2+y2+4y-96=0，有下列结论：

①x+y的最小值为；

②对任意实数m，方程（m-2）x-（2m+1）y+16m+8=0（m∈R）与题中方程必有两组不同的实数解；

③过点M（0，18）向题中方程所表示曲线作切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为y=3；

④若x，y∈N*，则xy的值为36或32．

以上结论正确的有______（用序号表示）

正确答案

①③④

解析

解：方程x2+y2+4y-96=0 即 x2+（y+2）2=100，表示以（0，-2）为圆心，以10为半径的圆．

令x=10cosθ，y=-2+10sinθ，有x+y=-2+10sin（θ+45°）≥-2-10，故①正确．

方程（m-2）x-（2m+1）y+16m+8=0（m∈R）即 m（x-2y+16）-（2x+y-8）=0，

表示过x-2y+16=0 与2x+y-8=0交点（0，8）的直线系，而点（0，8）在圆上，

故有的直线和圆有两个交点，有的直线和圆有一个交点，故②不正确．

过点M（0，18）向题中方程所表示曲线作切线，切点分别为A，B，由圆的对称性、切线的对称性知，

A，B关于y轴对称．而切线MA==10，MA 与y轴的夹角为30°，

点M到AB的距离为MA•cos30°=15，故AB的方程为 y=18-15=3，故③正确．

圆x2+（y+2）2=100上的坐标为正整数点有（6，6），（8，4），若x，y∈N*，则xy的值为36或32，

故④正确．

综上，①③④正确，

故答案为：①③④．

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