热门试卷

（1）解：曲线C1的方程为 y=（x-t）3-（x-t）+s．

（2）证明：在曲线C上任取一点B1（x1，y1）．设B2（x2，y2）是B1关于点A的对称点，

则有，，所以x1=t-x2，y1=s-y2．

代入曲线C的方程，得x2和y2满足方程：

s-y2=（t-x2）3-（t-x2），即y2=（x2-t）3-（x2-t）+s，可知点B2（x2，y2）在曲线C1上．

反过来，同样可以证明，在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上．

因此，曲线C与C1关于点A对称．

（3）证明：因为曲线C与C1有且仅有一个公共点，所以，方程组有且仅有一组解．

消去y，整理得 3tx2-3t2x+（t3-t-s）=0，这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根．

所以t≠0并且其根的判别式△=9t4-12t（t3-t-s）=0，即

所以且t≠0．

解：（1）由已知可得=（，-2），

将点B（1+），绕点A顺时针旋转，

得=（cos-2sin，-sin-2cos）=（-1，-3）

∵A（1，2），∴P（0，-1 ）

（2）设平面内曲线C上的点P（x，y），则其绕原点沿逆时针方向旋转后得到点P′（（x-y），（x+y）），

∵点P′在曲线x2-y2=3，

∴[（（x-y）]2-[（x+y）]2=3，

整理得xy=-．

解：（1）由题意，可得

∵A（-1，1），B（1，1），M（x，y）

∴，

由此可得，，

又∵，且，

∴，

化简整理得：，即为所求曲线C的方程．

（2）因为过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称，

所以可设P（x，y），M（x0，y0），N（-x0，-y0）．

∴P，M，N在椭圆上，

∴，…①．，…②

①-②，得．

又∵，，

∴，

因此，kPM•kPN的值恒等于-，与点P的位置和直线L的位置无关．

（3）由于P（x，y）在椭圆C：上运动，可得x2=3-y2且-2≤y≤2

∵=（x，y-m），

∴||===

由题意，点P的坐标为（0，2）时，取得最小值，

即当y=2时，取得最小值，而-2≤y≤2，故有4m≥2，解之得．

又∵椭圆C与y轴交于D、E两点的坐标为（0，2）、（0，-2），而点M在线段DE上，即-2≤m≤2，

∴，实数m的取值范围是．