- 曲线与方程
- 共922题
设P是曲线y=
A[
B[2
C[
D（0，2
正确答案
解析
解：由题意，曲线y=x+
∴
∴2x4+（2a-4）x2+a2≥0，
令t=x2，则2t2+（2a-4）t+a2≥0在（0，+∞）上恒成立，
∴△=（2a-4）2-8a2≤0或1-a＜0，
∵a＞0，
∴a≥2
故选：B．
设方程（m+1）|ex-1|-1=0的两根分别为x1，x2（x1＜x2），方程|ex-1|-m=0的两根分别为x3，x4（x3＜x4）．若m∈（0，
A（-∞，0）
B（-∞，ln
C（ln
D（-∞，-1）
正确答案
解析
解：由方程（m+1）|ex-1|-1=0的两根为x1，x2（x1＜x2），可得
求得x1=ln
由方程|ex-1|-m=0的两根为x3，x4（x3＜x4），可得
求得x3=ln（1-m），x4=ln（1+m）．
∴（x4+x1）-（x3+x2）=lnm-ln
令t=
由m∈（0，
∴
故原式=lnt∈（-∞，ln
故选：B．
已知a，b为两个不相等的非零实数，则方程ax-y+b=0与bx2+ay2=ab所表示的曲线可能是（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：把曲线方程整理成
A，C选项中，直线的斜率a＞0，截距b＜0，则曲线方程为双曲线，焦点在x轴，故C正确，A错误．
B项中直线斜率a＜0，则曲线一定不是椭圆，故B项错误．
对于D选项观察直线图象可知a＞0，b＞0，则曲线的方程的图象一定是椭圆，故D不符合．
故选：C．
已知直线y=-2上有一个动点Q，过Q作直线l垂直于x轴，动点P在直线l上，且
（1）求曲线C1的方程；
（2）设直线l与x轴交于点A，且
（3）已知圆C2：x2+（y-a）2=2，若C1、C2在交点处的切线相互垂直，求a的值．
正确答案
解：（1）设点P的坐标为（x，y），则Q（x，-2），
∵
∴x2-2y=0，
当x=0时，P、O、Q三点共线，不符合题意，故x≠0．
∴曲线C的方程为x2=2y（x≠0）．
（2）设点P的坐标（x0，y0），∴A（x0，0）∵
∵
∵x02=2y0∴k=x0∴直线PB的方程为y=x0x-y0…（6分）
代入x2=2y得x2-2x0x+2y0=0，∵△=4x02-8y0=0
∴直线PB与曲线C1相切．…（7分）
（3）不妨设C1、C2的一个交点为N（x1，y1），C1的方程为
则在C1上N点处切线的斜率为y′=x1．C2上过N点的半径的斜率为
又
∵N（x1，y1）在圆C2上，∴-2a+4a2=2，∴
∵y1＞0∴a＜0，∴
解析
解：（1）设点P的坐标为（x，y），则Q（x，-2），
∵
∴x2-2y=0，
当x=0时，P、O、Q三点共线，不符合题意，故x≠0．
∴曲线C的方程为x2=2y（x≠0）．
（2）设点P的坐标（x0，y0），∴A（x0，0）∵
∵
∵x02=2y0∴k=x0∴直线PB的方程为y=x0x-y0…（6分）
代入x2=2y得x2-2x0x+2y0=0，∵△=4x02-8y0=0
∴直线PB与曲线C1相切．…（7分）
（3）不妨设C1、C2的一个交点为N（x1，y1），C1的方程为
则在C1上N点处切线的斜率为y′=x1．C2上过N点的半径的斜率为
又
∵N（x1，y1）在圆C2上，∴-2a+4a2=2，∴
∵y1＞0∴a＜0，∴
将曲线x2+y2=4上各点的纵坐标缩短到原来的
A
Bx2+4y2=4
C
D4x2+y2=4
正确答案
解析
解：在所得曲线的方程上取点（x，y），则点（x，2y）在曲线x2+y2=4上，
∴x2+4y2=4
故选B．
设曲线C的方程是y=x3-x，将C沿x，y轴正方向分别平移t，s（t≠0）个单位长度后得到曲线C1．
（1）写出曲线C1的方程；
（2）如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明：s=
正确答案
（1）解：根据题意，将C沿x轴、正向平移t单位长度后，x变为x-t，将C沿y轴正向平移s单位长度后，y 变为y-s，则可得C1：y-s=（s-t）3-（x-t）．①
（2）证明：因为曲线C与C1有且仅有一个公共点，所以，方程组曲线C与C1联立，有且仅有一组解．
消去y，整理得 3tx2-3t2x+（t3-t-s）=0，这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根．
所以t≠0并且其根的判别式△=9t4-12t（t3-t-s）=0，即
所以s=
解析
（1）解：根据题意，将C沿x轴、正向平移t单位长度后，x变为x-t，将C沿y轴正向平移s单位长度后，y 变为y-s，则可得C1：y-s=（s-t）3-（x-t）．①
（2）证明：因为曲线C与C1有且仅有一个公共点，所以，方程组曲线C与C1联立，有且仅有一组解．
消去y，整理得 3tx2-3t2x+（t3-t-s）=0，这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根．
所以t≠0并且其根的判别式△=9t4-12t（t3-t-s）=0，即
所以s=
设集合M={（x，y）|x2+y2=a，x≤0，y∈R}，N={（x，y）|2x+y=0，x≥0，y∈R}，若M∩N恰有两个子集，则由符合题意的a构成的集合为______．
正确答案
{1}
解析
解：由题意可知，a＞0．
集合M={（x，y）|x2+y2=a，x≤0，y∈R}的轨迹是以原点为圆心，以
集合N={（x，y）|2x+y=0，x≥0，y∈R}，图象如图，
要使M∩N恰有两个子集，则M∩N恰有一个元素，
由图象可知，只有
∴由符合题意的a构成的集合为{1}．
故答案为{1}．
点集{（x，y）|（|x|-1）2+y2=4}表示的图形是一条封闭的曲线，这条封闭曲线所围成的区域面积是（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
由图可得面积S=
故选：A．
已知直角坐标系中圆C方程为F（x，y）=0，P（x0，y0）为圆内一点（非圆心），那么方程F（x，y）=F（x0，y0）所表示的曲线是（ ）
正确答案
解析
解：设圆C方程为F（x，y）=x2+y2+Dx+Ey+F=0，圆的圆心坐标为（
∵P（x0，y0）为圆内一点，
∴F（x0，y0）＜0，即x02+y02+Dx0+Ey0+F＜0，
∴x2+y2+Dx+Ey+F-（x02+y02+Dx0+Ey0+F）=0
令F′=-（x02+y02+Dx0+Ey0），则F′＞F
∴F（x，y）-F（x0，y0）=0表示圆，圆的圆心坐标为（
且
∴方程F（x，y）=F（x0，y0）所表示的曲线是比圆C半径小，与圆C同心的圆
故选B．
两条曲线的方程分别是f1（x，y）=0和f2（x，y）=0，它们的交点是P（x0，y0），若曲线C的方程为λ1f1（x，y）+λ2f2（x，y）=0 （λ1、λ2不全为0），则有（ ）
正确答案
解析
解：∵P（x0，y0），是f1（x，y）=0，f2（x，y）=0的交点，∴f1（x0，y0）=0，f2（x0，y0）=0，
则方程λ1f1（x0，y0）+λ2f2（x0，y0）=0，即方程λ1f1（x0，y0）+λ2f2（x0，y0）=0，
故选：A．
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