- 曲线与方程
- 共922题
方程为x2+y2+4x=x-y+1的曲线上任意两点之间距离的最大值为______．
正确答案
解析
解：方程 x2+y2+4x=x-y+1 即 
表示以（-
故x2+y2+4x=x-y+1的曲线上任意两点之间距离的最大值为圆的直径
故答案为 
（2015秋•韶关校级月考）已知坐标满足方程F（x，y）=0的点都在曲线C上，那么（ ）
正确答案
解析
解：因为命题C是原命题的逆否命题，它与原命题是等价的．
命题A错．设方程F（x，y）=0的图象是曲线F，且曲线F是C的某一部分，那么曲线C上F部分以外的点就不适合方程F（x，y）=0．所以A错．
B错．参见上条，曲线C上有一部分是F，它上面的点适合方程F（x，y）=0，曲线C上还有些点不适合方程F（x，y）=0．
D错．因为C正确，所以D错误．
因为坐标满足方程F（x，y）=0的点都在曲线C上，也就是说坐标满足方程F（x，y）=0的点不会不在曲线C上．
故选C
A
B
C
D
正确答案
解析
解：依题意可知P到点B的距离等于到直线A1B1的距离，
根据抛物线的定义可知，动点P的轨迹是以B为焦点，以A1B1为准线的过A的抛物线的一部分．
A的图象为直线的图象，排除A．
B项中B不是抛物线的焦点，排除B．
D项不过A点，D排除．
故选C．
a、b为任意实数，若（a，b）在曲线f（x，y）=0上，且（b，a）也在曲线f（x，y）=0上，则曲线f（x，y）=0的几何特征是（ ）
正确答案
解析
解：∵（a，b）与（b，a）关于直线y=x对称，
且（a，b），（b，a）都在曲线f（x，y）=0上，
∴由a，b的任意性可知，曲线f（x，y）=0关于直线y=x对称．
故选：D．
k代表实数常数，讨论关于x，y的方程kx2+2y2-8=0所表示的曲线名称、并指出k的取值范围．
正确答案
解：当k＜0时，曲线
当k=0时，曲线2y2-8=0为两条平行于x轴的直线y=2或y=-2；---（4分）
当0＜k＜2时，曲线
当k=2时，曲线x2+y2=4为一个圆；------------------------------------（8分）
当k＞2时，曲线
解析
解：当k＜0时，曲线
当k=0时，曲线2y2-8=0为两条平行于x轴的直线y=2或y=-2；---（4分）
当0＜k＜2时，曲线
当k=2时，曲线x2+y2=4为一个圆；------------------------------------（8分）
当k＞2时，曲线
点A（1，-2），B（2，-3），C（3，10），在方程x2-xy+2y+1=0表示的曲线上的点的个数是（ ）
正确答案
解析
解：将A（1，-2）代入方程x2-xy+2y+1=0成立，即A在曲线上，B（2，-3）代入方程x2-xy+2y+1=0不成立，即B不在曲线上，同理C在曲线上，
故选C．
若曲线f（x，y）=0（或y=f（x））在其上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0（或y=f（x））的自公切线，下列方程的曲线存在自公切线的序号为______（填上所有正确的序号）①y=x2-|x|；②
正确答案
①③⑤
解析
解：①y=x2-|x|=
②
③y=3sinx+4cosx=5sin（x+∅），cos∅=
故此函数有自公切线．
④x2-y2=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线．
⑤y=xcosx 的图象过（2π，2π ），（4π，4π），图象在这两点的切线都是y=x，故此函数有自公切线．
故答案为：①③⑤．
已知mn≠0，则方程mx2+ny2=1与mx+ny2=0在同一坐标系下的图形可能是（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：方程mx+ny2=0 即 y2=-
当m和n同号时，抛物线开口向左，方程mx2+ny2=1（mn≠0）表示椭圆，无符合条件的选项．
当m和n异号时，抛物线 y2=-
故选A．
方程
正确答案
椭圆x2+3y2=1的右半部分
解析
解：∵方程
对所给的方程两边平方得到x2+3y2=1，x≥0，
∴方程所表示的曲线是椭圆x2+3y2=1的右半部分，
故答案为：椭圆x2+3y2=1的右半部分．
已知曲线C的方程为（2-t）x2+（3-t）y2=（2-t）（3-t），t＜3．
（1）就t的不同取值讨论方程所表示的曲线C的形状；
（2）若t=-1，过点P（4，0）且不垂直于x轴的直线l与曲线C相交于A，B两点．
①求
②若B点关于x轴的对称点为E点，探索直线AE与x轴的相交点是否为定点．
正确答案
解：（1）方程（2-t）x2+（3-t）y2=（2-t）（3-t），t＜3，
t＜2，可化为
t=2时，y=0，表示x轴；
2＜t＜3时，可化为
（2）①t=-1，可化为
由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x-4），
代入椭圆方程，消去y得（3+4k2）x2-32k2x+64k2-12=0．
由△=（-32k2）2-4•（3+4k2）（64k2-12）＞0，得-
设A（x1，y1），B （x2，y2），
则x1+x2=
∴
∵-
∴25-
∴
②直线与x轴相交于定点（1，0）．
∵B，E关于x轴对称，
∴点E的坐标为（x2，-y2），
直线AE的方程为y-y1=
又y1=k（x1-4），y2=k（x2-4），
令y=0，得x=
∴直线与x轴相交于定点（1，0）．
解析
解：（1）方程（2-t）x2+（3-t）y2=（2-t）（3-t），t＜3，
t＜2，可化为
t=2时，y=0，表示x轴；
2＜t＜3时，可化为
（2）①t=-1，可化为
由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x-4），
代入椭圆方程，消去y得（3+4k2）x2-32k2x+64k2-12=0．
由△=（-32k2）2-4•（3+4k2）（64k2-12）＞0，得-
设A（x1，y1），B （x2，y2），
则x1+x2=
∴
∵-
∴25-
∴
②直线与x轴相交于定点（1，0）．
∵B，E关于x轴对称，
∴点E的坐标为（x2，-y2），
直线AE的方程为y-y1=
又y1=k（x1-4），y2=k（x2-4），
令y=0，得x=
∴直线与x轴相交于定点（1，0）．
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