圆锥曲线中的范围、最值问题
共37题

· 圆锥曲线中的范围、最值问题

圆锥曲线中的范围、最值问题
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题型：简答题

简答题 · 12 分

已知椭圆的焦点为，点在椭圆上。

（1）求椭圆的方程；

（2）若抛物线（）与椭圆相交于点、，当（是坐标原点）的面积取得最大值时，求的值。

正确答案

见解析

解析

（1）依题意，设椭圆的方程为，

，，所以，

，所以，椭圆的方程为

（2）根据椭圆和抛物线的对称性，设、（），

的面积，

在椭圆上，，所以，

当且仅当时，等号成立

解（）得

即在抛物线上，

所以，解得

知识点

椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 13 分

如图，设椭圆的左右焦点为，上顶点为，点关于对称，且

（1）求椭圆的离心率；

（2）已知是过三点的圆上的点，若的面积为，求点到直线距离的最大值。

正确答案

见解析

解析

（1）

由及勾股定理可知，即

因为，所以，解得

（2）由（1）可知是边长为的正三角形，所以

解得

由可知直角三角形的外接圆以为圆心，半径

即点在圆上，

因为圆心到直线的距离为

故该圆与直线相切，所以点到直线的最大距离为

知识点

椭圆的几何性质直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的范围、最值问题

题型：填空题

填空题 · 5 分

设抛物线的焦点为,已知为抛物线上的两个动点，且满足,过弦的中点作抛物线准线的垂线,垂足为,则的最大值为

正确答案

解析

略

知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的范围、最值问题

题型：简答题

简答题 · 13 分

已知圆锥曲线的两个焦点坐标是，且离心率为；

（1）求曲线的方程；

（2）设曲线表示曲线的轴左边部分，若直线与曲线相交于两点，求的取值范围；

（3）在条件（2）下，如果，且曲线上存在点，使，求的值。

正确答案

（1）

（2）

（3）m=4

解析

（1）由知，曲线是以为焦点的双曲线，且，

故双曲线的方程是，

（2）设，联立方程组：，

从而有：为所求。

（3）因为，

整理得或，

注意到，所以，故直线的方程为。

设，由已知，

又，所以。

在曲线上，得，

但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，

所以为所求。

知识点

向量在几何中的应用双曲线的定义及标准方程双曲线的几何性质直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的范围、最值问题

题型：简答题

简答题 · 13 分

已知直角坐标平面内一动点到点的距离与直线的距离相等。

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过点（）作斜率为的直线与曲线相交于两点，若为钝角，求实数的取值范围；

（3）过点（）作直线与曲线相交于两点，问：是否存在一条垂直于轴的直线与以线段为直径的圆始终相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

正确答案

见解析

解析

（1）由抛物线的定义，知所求P点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，其方程为，其中，。

所以，动点P的轨迹C的方程为，………………………………………4分

（2）由题意知，直线AB的方程为。

代入，得。

设，则。

为钝角，。

又，，

。

即，

。

因此，

。

综上，实数的取值范围是，…………………8分

（3）设过点的直线方程为，代入，得

，设，则，。

于是。

的中点坐标为。

又

。

设存在直线满足条件，则。

化简，得。

所以，对任意的恒成立，

所以解得，。

所以，当时，存在直线与以线段为直径的圆始终相切，……13分

知识点

直线与圆锥曲线的综合问题直接法求轨迹方程圆锥曲线中的范围、最值问题圆锥曲线中的探索性问题

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