圆锥曲线中的范围、最值问题
共37题

· 圆锥曲线中的范围、最值问题

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题型：简答题

简答题 · 14 分

22. 已知椭圆C过点是椭圆的左焦点，P、Q是椭圆C上的两个动点，

且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列。

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A；

（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，点A关于原点O的对称点是B，求|PB|的最小值及相应点P的坐标。

正确答案

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知识点

等差数列的性质及应用椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的范围、最值问题

题型：简答题

简答题 · 13 分

19.已知椭圆的右顶点，离心率为，为坐标原点.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知（异于点）为椭圆上一个动点，过作线段的垂线交椭圆于点，求的取值范围.

正确答案

解：（Ⅰ）因为是椭圆的右顶点，所以 .

又，所以 .

所以 .

所以椭圆的方程为.

（Ⅱ）当直线的斜率为0时，，为椭圆的短轴，则.

所以 .

当直线的斜率不为0时，

设直线的方程为，，

则直线DE的方程为.

由得.

即.

所以

所以 .

即 .

类似可求.

所以

设则，.

令，则.

所以是一个增函数.

所以 .

综上，的取值范围是.

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知识点

椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的范围、最值问题

题型：简答题

简答题 · 14 分

20. 如图，已知抛物线：和⊙：，过抛物线上一点作两条直线与⊙相切于、两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点到抛物线准线的距离为．

（1）求抛物线的方程；

（2）当的角平分线垂直轴时，求直线的斜率；

（3）若直线在轴上的截距为，求的最小值

正确答案

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知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 16 分

21．已知圆经过椭圆的右焦点及上顶点。

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆外一点倾斜角为的直线交椭圆于、两点，若点在以线段为直径的圆的外部，求的取值范围。

正确答案

（1）与轴、轴交点为和

，，

椭圆方程为：

（2）设直线的方程为：

（）

可得：

即

设，，

则，

化简得：

可得：，

取值范围为

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知识点

椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 13 分

21．在平面直角坐标系中，已知椭圆C：的左焦点为，且椭圆C的离心率.

（1）求椭圆C的方程;

（2）设椭圆C的上下顶点分别为，Q是椭圆C上异于的任一点，直线分别交x轴于点S，T，证明：为定值，并求出该定值；

（3）在椭圆C上，是否存在点，使得直线与圆相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．

正确答案

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椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的范围、最值问题圆锥曲线的定点、定值问题圆锥曲线中的探索性问题

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