热门试卷

(1)函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1,0)，(0，＋∞)。

(2)由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为f′(x1)，点B处的切线斜率为f′(x2)，

故当点A处的切线与点B处的切线垂直时，有f′(x1)f′(x2)＝－1.

当x＜0时，对函数f(x)求导，得f′(x)＝2x＋2.

因为x1＜x2＜0，所以，(2x1＋2)(2x2＋2)＝－1.

所以2x1＋2＜0,2x2＋2＞0.

因此x2－x1＝[－(2x1＋2)＋2x2＋2]

≥＝1.

(当且仅当－(2x1＋2)＝2x2＋2＝1，即且时等号成立)

所以，函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直时，有x2－x1≥1.

(3)当x1＜x2＜0或x2＞x1＞0时，f′(x1)≠f′(x2)，故x1＜0＜x2.

当x1＜0时，函数f(x)的图象在点(x1，f(x1))处的切线方程为y－(x12＋2x1＋a)＝(2x1＋2)(x－x1)，即y＝(2x1＋2)x－x12＋a.

当x2＞0时，函数f(x)的图象在点(x2，f(x2))处的切线方程为y－ln x2＝(x－x2)，即y＝·x＋ln x2－1.

两切线重合的充要条件是

由①及x1＜0＜x2知，0＜＜2.

由①②得，a＝ln x2＋－1＝.

令，则0＜t＜2，且a＝t2－t－ln t，

设h(t)＝t2－t－ln t(0＜t＜2)，

则h′(t)＝t－1－＝＜0.

所以h(t)(0＜t＜2)为减函数，

则h(t)＞h(2)＝－ln 2－1，

所以a＞－ln 2－1.

而当t∈(0,2)且t趋近于0时，h(t)无限增大。

所以a的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)。

故当函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合时，a的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)。