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  • 导数及其应用
  • 共3028题
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1
题型：简答题
|
简答题 · 12 分

设函数,已知曲线 在点处的切线与直线垂直.

28. 求的值.

29.若函数,且在区间上是单调函数，求实数的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

b=1

解析

(1)曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为2，所以f′(1)＝2，

又f′(x)＝ln x＋＋1，即ln 1＋b＋1＝2，所以b＝1.

考查方向

本题考查导数知识的运用，考查直线的垂直，考查学生的计算能力，属于基础题．

解题思路

求导函数，利用函数的图象在x=1处的切线与直线垂直，即可求b的值．

易错点

注意区别“在某点处”和“过某点处”的切线方程的求法.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(－∞，1]

解析

由(1)知 g(x)= = exln x－aex

所以 g′(x)＝(－a＋ln x)ex     (x＞0)，

若g(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数，则g′(x)≤0在(0，＋∞)上恒成立，

即－a＋ln x≤0，所以a≥＋ln x.

令h(x)＝＋ln x(x＞0)，   则h′(x)＝－＋＝

由h′(x)＞0，得x＞1，h′(x)＜0，得0＜x＜1，

故函数h(x)在(0，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，

则＋ln x→∞，h(x)无最大值， g′(x)≤0在(0，＋∞)上不恒成立，

故g(x)在(0，＋∞)不可能是单调减函数.

若g(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数，则g′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，

即－a＋ln x≥0，所以a≤＋ln x，由前面推理知，h(x)＝＋ln x的最小值为1，

∴a≤1，故a的取值范围是(－∞，1].

考查方向

本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性的判断，主要考查导数的几何意义和函数的单调性的运用，构造函数和不等式恒成立思想是解题的关键．

解题思路

根据g(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数和g(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数进行讨论，利用导数，可求出a的取值范围.

易错点

对于导数问题，学生往往急于求功，而忽略定义域.

1
题型：填空题
|
填空题 · 5 分

 

正确答案

1

知识点

导数的几何意义
1
题型：简答题
|
简答题 · 12 分

设函数,已知曲线 在点处的切线与直线垂直.

28. 求的值.

29.若函数,且在区间上是单调函数，求实数的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

b=1

解析

(1)曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为2，所以f′(1)＝2，

又f′(x)＝ln x＋＋1，即ln 1＋b＋1＝2，所以b＝1.

考查方向

本题考查导数知识的运用，考查直线的垂直，考查学生的计算能力，属于基础题．

解题思路

求导函数，利用函数的图象在x=1处的切线与直线垂直，即可求b的值．

易错点

注意区别“在某点处”和“过某点处”的切线方程的求法.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(－∞，1]

解析

由(1)知 g(x)= = exln x－aex

所以 g′(x)＝(－a＋ln x)ex     (x＞0)，

若g(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数，则g′(x)≤0在(0，＋∞)上恒成立，

即－a＋ln x≤0，所以a≥＋ln x.

令h(x)＝＋ln x(x＞0)，   则h′(x)＝－＋＝

由h′(x)＞0，得x＞1，h′(x)＜0，得0＜x＜1，

故函数h(x)在(0，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，

则＋ln x→∞，h(x)无最大值， g′(x)≤0在(0，＋∞)上不恒成立，

故g(x)在(0，＋∞)不可能是单调减函数.

若g(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数，则g′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，

即－a＋ln x≥0，所以a≤＋ln x，由前面推理知，h(x)＝＋ln x的最小值为1，

∴a≤1，故a的取值范围是(－∞，1].

考查方向

本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性的判断，主要考查导数的几何意义和函数的单调性的运用，构造函数和不等式恒成立思想是解题的关键．

解题思路

根据g(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数和g(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数进行讨论，利用导数，可求出a的取值范围.

易错点

对于导数问题，学生往往急于求功，而忽略定义域.

1
题型： 单选题
|
单选题 · 5 分

8.已知函数的图像在点处的切线方程是，，则（   ）

A

B

C

D2

正确答案

A

解析

根据题意可得，

.

故选A.

考查方向

本题主要考查导数的几何意义和导数的计算.

解题思路

根据导数的几何意义可求再对g(x)求导，代值即可.

易错点

导数的几何意义即曲线在该点处的切线的斜率，学会定义的多种变形.

知识点

导数的几何意义导数的运算
1
题型：简答题
|
简答题 · 12 分

已知函数，（为常数）.

25.当时，求函数的单调区间；

26.若对任意恒成立，求实数的取值范围；

27.若，，求证：.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

当时，，，得.

由，解得，即在上单调递增；

由，解得，即在上单调递减.

∴综上，的单调递增区间为，单调递减区间为

解析

当时，，，得.

由，解得，即在上单调递增；

由，解得，即在上单调递减.

∴综上，的单调递增区间为，单调递减区间为

考查方向

本题主要考查了导数的应用——利用导数求函数的单调区间问题，属于常规性问题。

解题思路

首先将代入解析式中，然后求出导函数，解不等式和即可求得单调区间。

易错点

本题容易因含有对数的超越不等式不会解而导致结果算不出来。

教师点评

本题属于常规性问题，在每一年的高考中都会考到，需要考生加强这一类问题的训练。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

已知，于是变形为，

从而，即，整理得.

令，则，即在上是减函数，

∴，令，则，

当时，，即此时单调递增；当时，，即此时单调递减，

而，∴，∴

解析

已知，于是变形为，

从而，即，整理得.

令，则，即在上是减函数，

∴，令，则，

当时，，即此时单调递增；当时，，即此时单调递减，

而，∴，∴

考查方向

本题主要考查了导数的应用，通过求最值来解决不等式恒成立的问题。

解题思路

首先将问题转化为求函数的最值的问题，然后在利用导数予以解决。

易错点

本题在对恒成立问题的分析中容易产生错误的理解而导致出错。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

由（1）知，当时，在上是增函数，

∵，∴，

即，同理，

，

又因为，当且仅当时，取等号，，，，

∴，∴，∴.

解析

由（1）知，当时，在上是增函数，

∵，∴，

即，同理，

，

又因为，当且仅当时，取等号，，，，

∴，∴，∴.

考查方向

本题考查了导数的应用以及不等式的证明。

解题思路

首先根据函数的单调性予以放缩，再利用放缩法予以证明。

易错点

本题容易因为放缩法掌握不清楚而导致出现错误。

教师点评

本题属于不等式的证明问题，难度较大，考生需要有足够的知识储备和应变能力。

1
题型：简答题
|
单选题

根据《中华人民共和国广告法》，不得发布广告的药品为

A．人血白蛋白
B．氨茶碱
C．可待图片
D．狂犬疫苗
E．龙胆泻肝九

正确答案

C

解析

禁止发布广告的药品包括：麻醉药品、精神药品、医疗用毒性药品、放射性药品。可待因片属于麻醉药品，故选C。

1
题型： 单选题
|
单选题 · 5 分

若,则的解集为 (   )

A(0,)

B(-1,0)(2,)

C(2,)

D(-1,0)

正确答案

C

解析

知识点

导数的运算
1
题型：简答题
|
简答题 · 14 分

17.某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到的距离分别为5千米和40千米，点N到的距离分别为20千米和2.5千米，以所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数（其中a，b为常数）模型.

（1）求a，b的值；

（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.

①请写出公路l长度的函数解析式，并写出其定义域；

②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.

正确答案

（1）由题意知，点，的坐标分别为，．

将其分别代入，得，

解得．

（2）①由（1）知，（），则点的坐标为，

设在点处的切线交，轴分别于，点，，

则的方程为，由此得，．

故，．

②设，则．令，解得．

当时，，是减函数；

当时，，是增函数．

从而，当时，函数有极小值，也是最小值，所以，

此时．

答：当时，公路的长度最短，最短长度为千米．

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

函数解析式的求解及常用方法导数的几何意义导数的运算
1
题型：简答题
|
简答题 · 16 分

19.已知函数。

（1）试讨论的单调性；

（2）若（实数c是与a无关的常数），当函数有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是，求c的值。

正确答案

（1），令，解得，．

当时，因为（），所以函数在上单调递增；

当时，时，，时，，

所以函数在，上单调递增，在上单调递减；

当时，时，，时，，

所以函数在，上单调递增，在上单调递减．

（2）由（1）知，函数的两个极值为，，则函数有三个

零点等价于，从而或．

又，所以当时，或当时，．

设，因为函数有三个零点时，的取值范围恰好是

，则在上，且在上均恒成立，

从而，且，因此．

此时，，

因函数有三个零点，则有两个异于的不等实根，

所以，且，

解得．

综上．

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

导数的几何意义导数的运算
1
题型：填空题
|
填空题 · 5 分

15.设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点p处的切线垂直，则P的坐标为（    ）

正确答案

（1,1）

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

导数的几何意义两条直线垂直的判定
1
题型：填空题
|
填空题 · 20 分

请你谈一谈对“不同生产方式以及生产工艺中，生产物流管理所采用的方法和手段是不同的。”这句话的理解。

正确答案

测试

1
题型： 单选题
|
单选题 · 5 分

根据右边框图，对大于2的整数，输出数列的通项公式是（    ）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

知识点

导数的运算
1
题型：简答题
|
简答题 · 14 分

已知函数

（1）设函数，求的单调区间与极值；

（2）设，解关于的方程

（3）试比较与的大小。

正确答案

见解析

解析

（1）由，（≥）知，

，令，得

当时，；当时，；

故当时，单调递减；

当时，单调递增；

所以是其极小值点，且极小值为。

（2）因为,故原方程可化为；

即

等价于:

故画出函数图象后,由方程与函数的思想,讨论得:

1当时,原方程有一解;

2当时,原方程有两解;

3当时,原方程有一解;

4当时,原方程无解。

（3） 由已知得。

设数列的前项和为，且，。

从而有，

当时，，

又

则对任意的，有。

又因为，所以，故。

知识点

导数的运算
1
题型： 单选题
|
单选题 · 5 分

设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝(　　)

A0

B1

C2

D3

正确答案

D

解析

知识点

导数的几何意义导数的运算
1
题型：简答题
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简答题 · 13 分

设的导数满足其中常数.

（1）求曲线在点处的切线方程。

（2）设求函数的极值。

正确答案

（1）

（2）

解析

（1）因，故，

令，得，由已知，解得

又令，得，由已知，解得

因此，从而

又因为，故曲线在点处的切线方程为，即

（2）由（1）知，，从而有，

令，解得。

当时，，故在为减函数，

当时，，故在为增函数，

当时，，故在为减函数，

从而函数在处取得极小值，在出取得极大值

知识点

导数的几何意义导数的运算
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