导数及其应用_章节学习

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

给出下列函数：①；②；③；④，则满足关系式的函数的序号是（）。

A①③

B②④

C①③④

D②③④

正确答案

C

解析

略

知识点

导数的运算

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

设为实数，且满足：，，则 .

正确答案

4028

解析

，

令，则是递增函数，且

则，即.

知识点

导数的运算

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

若的展开式中x3的系数是﹣84，则a=　_________　。

正确答案

1

解析

知识点

导数的运算

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

定义在区间上的连续函数，如果，使得，则称为区间上的“中值点”，下列函数：①；②；③；④中，在区间上“中值点”多于一个的函数序号为____，（写出所有满足条件的函数的序号）

正确答案

①④

解析

略

知识点

导数的几何意义导数的运算

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

△ABC中，D为边BC

上的一点，BD=33，，求AD。

正确答案

见解析。

解析

知识点

导数的运算

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知函数，其中且.

（1）讨论的单调性；

(2) 若不等式恒成立，求实数取值范围；

（3）若方程存在两个异号实根，，求证：

正确答案

见解析。

解析

(１)的定义域为.

其导数

①当时,,函数在上是增函数;

②当时,在区间上,;在区间(0,+∞)上,。

所以,在是增函数,在(0,+∞)是减函数.

(２)当时, 则取适当的数能使，比如取，

能使, 所以不合题意

当时，令,则

问题化为求恒成立时的取值范围.

由于

在区间上,;在区间上,.

的最小值为,所以只需

即,,

(3)由于存在两个异号根，不仿设，因为,所以

构造函数:()

所以函数在区间上为减函数. ,则,

于是,又,,由在上为减函数可知.即

知识点

函数单调性的判断与证明导数的几何意义导数的运算不等式恒成立问题不等式与函数的综合问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

定义在R上的函数和的导函数分别为，，则下面结论正确的是

①若，则函数的图象在函数的图象上方；

②若函数与的图象关于直线对称，则函数与的图象关于点（，0）对称；

③函数，则；

④若是增函数，则.

A①②

B①②③

C③④

D②③④

正确答案

C

解析

略

知识点

导数的运算

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

曲线在处的切线方程为 ▲ .

正确答案

解析

略

知识点

导数的几何意义导数的运算

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知函数，则函数的零点所在的区间是

A（0,1）

B（1,2）

C（2,3）

D（3,4）

正确答案

B

解析

略

知识点

函数零点的判断和求解导数的运算

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知函数f(x)=lnx－a2x2+ax.

（1）若a=1，求函数f(x)的最大值；

（2）若函数f(x)在区间(1，+∞)上是减函数，求实数a的取值范围.

正确答案

见解析

解析

（1）当时，，定义域为，

………………………… 1分

所以，令，解得，或.

因为，所以 ………………………… 3分

所以当时，；当时，.

所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，

………………………… 4分

所以当时，函数取得最大值，

即的最大值是 ………………………… 5分

（2）因为，定义域为，

所以 ………………………… 7分

①当时，，

所以在区间上为增函数，不符合题意. ………………………… 8分

②当时，由，即，又，

所以所以的单调减区间为（，+∞），

所以解得 ………………………… 10分

③当时，，即，又，

所以，所以的单调减区间为，

所以解得 ………………………… 12分

综上所述，实数的取值范围是

………………………… 13分

知识点

导数的运算

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

已知矩阵，，向量，为实数，若，求的值。

正确答案

见解析。

解析

，，由得解得

知识点

导数的运算

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

某工厂生产某种产品，每日的成本C（单位：万元）与日产量x（单

位：吨）满足函数关系式C=3+x,每日的销售额S（单位：万元）与日产量x的函数关

系式，已知每日的利润L=S-C,且当x=2时，L=3

（1）求k的值；

（2）当日产量为多少吨时，每日的利润达到最大，并求出最大值。

正确答案

（1）18（2）5吨；6万元

解析

解析：（1）依题意得当x=2时L=3解之得k=18.

（2）①当0<x<6时(当且仅当x=5时取“=”号）

②当x≥6时，显然有L≤5(当且仅当x=6时取“=”号）

综上知：当日产量为5吨时，每日的利润达到最大，最大值为6万元。

知识点

导数的运算

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量（吨）与每吨产品的价格p（元/吨）之间的关系式为：p=24200-0.2x2,且生产x吨的成本为（元）.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（注：利润=收入─成本）

正确答案

见解析。

解析

每月生产x吨时的利润为

由

得当当

∴在（0，200）单调递增，在（200，+∞）单调递减，

故的最大值为

答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.

知识点

函数的最值及其几何意义函数模型的选择与应用导数的运算

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

已知函数，设为的导数，。

（1）求的值；

（2）证明：对任意的，等式成立。

正确答案

见解析。

解析

（1）由已知，得

于是

所以

故

（2）证明：由已知，得等式两边分别对x求导，得，

即，类似可得

，

.

下面用数学归纳法证明等式对所有的都成立.

(i)当n=1时，由上可知等式成立.

(ii)假设当n=k时等式成立, 即.

因为

，

所以.

所以当n=k+1时,等式也成立.

综合(i),(ii)可知等式对所有的都成立.

令，可得()。

所以()。

知识点

导数的运算三角函数中的恒等变换应用

1

题型：简答题

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简答题 · 15 分

在平面直角坐标系中，设A、B是双曲线上的两点，是线段AB的中点，

线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点。

（1）求直线AB与CD的方程；

（2）判断A、B、C、D四点是否共圆？若共圆，请求出圆的方程；若不共圆，请说明理由。

正确答案

见解析

解析

（1）设A，则，代入双曲线得

解得或即的坐标为、，

所以：，：；

（2）A、B、C、D四点共圆，下证之：

证明：由与联立方程组可得

的坐标为、

由三点A、B、C可先确定一个圆①，

经检验适合①式，所以A、B、C、D四点共圆，

知识点

导数的运算

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正确答案

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