应用举例_章节学习

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题型：填空题

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填空题

如下图，货轮在海上以40 km/h的速度由B航行到C，航行的方位角∠NBC＝140°，A处有灯塔，其方位角∠NBA＝110°.在C处观测灯塔A的方位角∠N′CA＝35°.由B到C需航行半小时，则C到灯塔A的距离是　　　　 km。

正确答案

10(－)。

提示：在△ABC中，∠B＝30°，BC＝20 km，∠C＝40°＋35°＝75°

∴角A＝75°，∴＝，∴AC＝10(－)。

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中，角A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sinA=，sinB=．

（I）求sin（A+B）的值．

（II）求a=2，求a、b、c的值．

正确答案

（I）∵角A、B为锐角，且sinA=，sinB=，

∴cosA=，cosB=，

则sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×+×=；

（II）由a=2，sinA=，sinB=，

根据正弦定理得：b===2，

又根据余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA，即4=8+c2-4c，

整理得：（c-2）2=0，解得c=2．

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题型：简答题

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简答题

（本题满分14分）已知函数，．

（1）画出函数在上的图像；（2）求函数的最小正周期；

（3）求函数的单调增区间．

正确答案

（1）图略；（2）；（3）增区间为。

略

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题型：简答题

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简答题

已知向量=（sinx，cosx），=（6sinx+cosx，7sinx-2cosx），设函数f（x）=•-2．

（1）求函数f（x）的最大值，并求取得最大值时x的值；

（2）在A为锐角的△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若f（A）=4且△ABC的面积为3，b+c=2+3，求a的值．

正确答案

（1）∵向量=（sinx，cosx），=（6sinx+cosx，7sinx-2cosx），

∴f（x）=•-2=sinx（6sinx+cosx）+cosx（7sinx-2cosx）-2

=6sin2x+sinxcosx+7sinxcosx-2cos2x-2

=6sin2x-2cos2x-2（sin2x+cos2x）+8sinxcosx

=4（sin2x-cos2x）+4sin2x

=4sin2x-4cos2x

=4sin（2x-），

∵sin（2x-）∈[-1，1]，

∴当2x-=2kπ+，即x=kπ+时，正弦函数sin（2x-）取得最大值，且最大值为1，

则f（x）的最大值为4，此时x=kπ+；

（2）由f（A）=4，得到4sin（2A-）=4，即sin（2A-）=，

又A为三角形的内角，∴2A-=或2A-=，

解得：A=或A=（由A为锐角，故舍去），

∴A=，

又三角形的面积为3，

∴S=bcsinA=3，即bc=6，又b+c=2+3，

由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc=（b+c）2-2bc-bc

=（2+3）2-12-12=10，

则a=．

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题型：简答题

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简答题

已知函数f(x)=sin2x-cos2x-，x∈R．

（Ⅰ）求函数f（x）的最小值和最小正周期；

（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且c=，f(C)=0，若b=2a，求a，b的值．

正确答案

（Ⅰ）f(x)=sin2x--=sin(2x-)-1

则f（x）的最小值是-2，最小正周期是T==π；（7分）

（Ⅱ）f(C)=sin(2C-)-1=0，则sin(2C-)=1，

∵0＜C＜π∴-＜2C-＜∴2C-=，C=，

由余弦定理，得c2=a2+b2-2abcos，即3=a2+b2-ab，

又∵b=2a解得a=1，b=2．（14分）

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题型：简答题

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简答题

已知A、B、C是△ABC的三个内角，y=cotA+．

（1）若任意交换两个角的位置，y的值是否变化？试证明你的结论．

（2）求y的最小值．

正确答案

（1）∵y=cotA+

=cotA+

=cotA+cotB+cotC，

∴任意交换两个角的位置，y的值不变化．

（2）∵cos（B-C）≤1，

∴y≥cotA+=+2tan=（cot+3tan）≥=．

故当A=B=C=时，ymin=．

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题型：简答题

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简答题

设函数f(x)=sin(x+)+2sin2，x∈[0，π]

（Ⅰ）求f（x）的值域；

（Ⅱ）记△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，若f(B)=1，b=1，c=，求a的值．

正确答案

（I）f(x)=sin(x+)+2sin2=sinx+cosx+1-cosx

=sinx-cosx+1=sin(x-)+1，…（3分）

∵x∈[0，π]，

∴x-∈[-，]，

∴sin（x-）∈[-，1]，

则f(x)∈[，2]；…（6分）

（II）由f(B)=1，得sin(B-)=0，故B=…（7分）

解法一：由余弦定理b2=a2+c2-2ac•cosB，

得a2-3a+2=0，解得a=1或2；…（12分）

解法二：由正弦定理=，得sinC=，C=或，

当C=，A=，从而a==2，…（9分）

当C=时，A=，又B=，从而a=b=1，…（11分）

故a的值为1或2． …（12分）

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题型：简答题

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简答题

已知函数f(x)=sin2x-(cos2x-sin2x)-1，x∈R，将函数f（x）向左平移个单位后得函数g（x），设△ABC三个角A、B、C的对边分别为a、b、c．

（Ⅰ）若c=，f（C）=0，sinB=3sinA，求a、b的值；

（Ⅱ）若g（B）=0且=(cosA，cosB)，=(1，sinA-cosAtanB)，求•的取值范围．

正确答案

（Ⅰ）f(x)=sin2x-(cos2x-sin2x)-1=sin2x-cos2x-1=sin(2x-)-1．…（1分）

f(C)=sin(2C-)-1=0，所以sin(2C-)=1．

因为2C-∈(-，)，

所以2C-=

所以C=．…（3分）

由余弦定理知：a2+b2-2abcos=7，因sinB=3sinA，

所以由正弦定理知：b=3a．…（5分）

解得：a=1，b=3…（6分）

（Ⅱ）由题意可得g(x)=sin(2x+)-1，所以g(B)=sin(2B+)-1=0，所以sin(2B+)=1．

因为2B+∈(，)，所以2B+=，即B=

又=(cosA，)，=(1，sinA-cosA)，

于是•=cosA+(sinA-cosA)=cosA+sinA=sin(A+)…（8分）

∵B=∴A∈(0，π)，得 A+∈(，π)…（10分）

∴sin(A+)∈(0，1]，即•∈(0，1]．…（12分）

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足(a-c)•=c•．

（1）求角B的大小；

（2）若|-|=，求△ABC面积的最大值．

正确答案

（1）(a-c)•=c•

可化为：(a-c)|•|cosB=c•|，

即：(a-c)cacosB=cabcosC，

∴(a-c)cosB=bcosC，

根据正弦定理有(sinA-sinC)cosB=sinBcosC，

∴sinAcosB=sin(C+B)，即sinAcosB=sinA，

因为sinA＞0，所以cosB=，即B=；

（II）因为|-|=，所以||=，即b2=6，

根据余弦定理b2=a2+c2-2accosB，

可得6=a2+c2-ac，

有基本不等式可知6=a2+c2-ac≥2ac-ac=(2-)ac，

即ac≤3(2+)，

故△ABC的面积S=acsinB=ac≤，

即当a=c=时，

△ABC的面积的最大值为．

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题型：简答题

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简答题

已知函数f(x)=•，其中 =(1，sin2x)，=(cos2x，)，在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（A）=1

（1）求角A；

（2）若a=，b+c=3，求△ABC的面积．

正确答案

（1）∵=(1，sin2x)，=(cos2x，)，f(x)=•，

∴f（x）=cos2x+sin2x=2sin（2x+）

∵f（A）=1，∴2sin（2A+）=1，

∵＜2A+＜，

∴2A+=，∴A=；

（2）由余弦定理知cosA==

∵a=，∴b2+c2-bc=3

∵b+c=3

∴bc=2

∴S△ABC=bcsinA=．

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