应用举例_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知钝角中，角的对边分别为，且有

(1)求角的大小；

(2)设向量，且，求的值。

正确答案

(1)

(2)

（1），由正弦定理得：

………………………………………………………2分

即

………………………………………………………………4分

因为在△ABC中则

…………………………………………………………………………6分

(2)

即 ……………………………………………………7分

即…………………………………………8分

由

…………………………………………………………………………10分

则………………………………………………………12分

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题型：简答题

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简答题

已知△ABC的面积S=(b2+c2-a2)其中a，b，c分别为角A，B，C所对的边

（1）求角A的大小．

（2）若a=2，求•的最大值．

正确答案

（1）由三角形面积公式可知S=bcsinA，

∵S=(b2+c2-a2)，

∴bcsinA=(b2+c2-a2)

由余弦定理可知2bccosA=b2+c2-a2

∴sinA=cosA，即tana=1，

又由A是三角形内角

∴A=45°

（2）∵由余弦定理可知2bccosA=b2+c2-a2，a=2，

即bc=b2+c2-4≥2bc-4

∴（2-）bc≤4

∴bc≤=4+2

∴•=||•||cosA=bc≤2+2

故•的最大值为2+2

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题型：简答题

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简答题

已知△ABC三个内角A、B、C的对边分别为 a、b、c，向量 =（cos，sin），=（cos，-sin），且与的夹角为．

（Ⅰ）求角C的值；

（Ⅱ）已知c=3，△ABC的面积S=，求a+b的值．

正确答案

（Ⅰ）由题意•=（cos，sin）•（cos，-sin）=1×1×

∴cosC=

∵0＜C＜π

∴C=；

（Ⅱ）∵c=3，△ABC的面积S=，

∴

∴（a+b）2=a2+b2-2ab=

∴a+b=．

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，=（sinA，sin B），=（cosB，cos A），•=-sin 2C．

（1）求角C的大小；

（2）若c=2，A=，求△ABC的面积S．

正确答案

（1）由题意，sinAcosB+sinBcosA=-sin 2C

∴sin（A+B）=-sin2C，∴sinC=-2sinCcosC

∵0＜C＜π，∴cosC=-，∴C=；

（2）∵C=，A=，∴B=

由正弦定理可得=，∴b=2

∴△ABC的面积S=bcsinA=×2×2×sin=．

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分12分）

设函数

（1）求的最小正周期与单调递减区间；

（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知，△ABC的面积为的值。

正确答案

（1），

（2）2

（1）

---------------2分

令

--------------4分

（2）由，

-6分---------8

由 --10分

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题型：简答题

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简答题

已知向量=(-1，2)，=(3，m)（O为坐标原点）．

（1）若⊥，求实数m的值；

（2）若O、A、B三点能构成三角形，求实数m应满足的条件．

正确答案

（1）∵=-，∴=(4，m-2)．

由⊥，得•=0，即（-1）×4+2×（m-2）=0，∴m=4．

（2）由O、A、B三点能构成三角形，得向量与不平行

∴（-1）×m-2×3≠0，即m≠-6．

故当实数m≠-6时，O、A、B三点能构成三角形．

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题型：简答题

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简答题

（文）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且角B，A，C成等差数列．

（1）若a2-c2=b2-mbc，求实数m的值；

（2）若a=，b+c=3，求△ABC的面积．

正确答案

（1）由角B，A，C成等差数列以及三角形的内角和公式知A=60°，

又由a2-c2=b2-mbc可以变形得 =．

再由余弦定理可得cos A==，解得 m=1． …（4分）

（2）由（1）知A=60°，又已知a=，故由余弦定理得b2+c2-2bc•=3，

∴（b+c）2-3bc=3．

∵已知b+c=3，

∴9-3bc=3，

∴bc=2．

∴S△ABC=bcsinA=•2•=． …（8分）

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题型：简答题

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简答题

(本小题满分13分)设f (x) =

（1）求f(x)的最大值及最小正周期； (9分)

（2）若锐角满足，求tan的值。(4分)

正确答案

解：（Ⅰ）

．

故的最大值为；最小正周期．

（Ⅱ）由得，故．

又由得，故，解得．

从而．

解：（Ⅰ）

．

故的最大值为；最小正周期．

（Ⅱ）由得，故．

又由得，故，解得．

从而．

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题型：简答题

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简答题

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2+c2=b2+ac，且=，求B和C．

正确答案

因为a2+c2=b2+ac得 b2=a2+c2-ac，又因为b2=a2+c2-2accosB，所以cosB=，（3分）所以B=60°．（6分）

因为由 = 可得 =，所以2sinA=(+1)sinC，…（9分）

∴2sin(120°-C)=(+1)sinC，得sinC=cosC，所以C=45°．（12分）

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题型：简答题

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简答题

如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G，设ÐMGA=a（≤α≤）

（1）试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S1与S2）表示为a的函数．

（2）求y=+的最大值与最小值．

正确答案

（1）因为G是边长为1的正三角形ABC的中心，

所以AG=×=，

∠MAG=，

由正弦定理=

得GM=

则S1=GM•GA•sina=

同理可求得S2=

（2）y=+=〔sin2(α+)+sin2(α-)〕

=72（3+cot2a）

因为≤α≤，

所以当a=或a=时，y取得最大值ymax=240

当a=时，y取得最小值ymin=216

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正确答案

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