圆的切线的判定定理的证明
共10题

· 圆的切线的判定定理的证明

圆的切线的判定定理的证明
共10题

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题型：简答题

简答题 · 10 分

28.如图，在Rt△ABC中，AB＝BC．以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DEBC，垂足为E，连接AE交⊙O于点F．求证：BECE＝EFEA．

正确答案

见解析

解析

证明：连接BD．因为AB为直径，所以BD⊥AC．

因为AB＝BC，所以AD＝DC．

因为DEBC，ABBC，所以DE∥AB，

所以CE＝EB．

因为AB是直径，ABBC，所以BC是圆O的切线，

所以BE2＝EFEA，即BECE＝EFEA．

考查方向

本小题主要考查与圆有关的比例线段、三角形相似、弦切角定理、切割线定理等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．

解题思路

本题考查三角函数与解三角形，解题步骤如下：

连接BD，由已知得∠BDA=90°，∠BDC=90°，DE2=BE•CE，由此利用切割线定理能证明BE•CE=EF

•BA．

易错点

切割线定理不会应用

知识点

圆的切线的判定定理的证明与圆有关的比例线段

题型：简答题

简答题 · 10 分

选修4—1：几何证明选讲

如图6，圆O的直径，P是AB延长线上一点，BP=2 ,割线PCD交

圆O于点C，D，过点P作AP的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F.

28. 当时，求的度数；

29.求的值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）；

解析

解：(Ⅰ) 连结BC，∵AB是圆O的直径 ∴则，

又，

，

∵；

考查方向

本题主要考查直径所对的圆周角是直角，四点共圆，切割线定理等知识，意在考查考生的逻辑推理能力和数形结合能力。

解题思路

找不到与之间的关系；

易错点

不会使用第（1）问的结论推导第（2）问；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）24；

解析

(Ⅱ)由（Ⅰ）知，

∴D、C、E、F四点共圆，

∴,

∵PC、PA都是圆O的割线，∴，

∴=24.

考查方向

本题主要考查直径所对的圆周角是直角，四点共圆，切割线定理等知识，意在考查考生的逻辑推理能力和数形结合能力。

解题思路

无法发现D、C、E、F四点共圆导致不能使用割线定理。

易错点

不会使用第（1）问的结论推导第（2）问；

题型：简答题

简答题 · 10 分

选修4-1：几何证明选讲．

如图所示，已知与⊙相切，为切点，过点的割线交圆于两点，弦，相交于点，为上一点，且．

27.求证：；

28.若，求的长．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

∵,∴∽,∴，又∵,∴, ∴,，∴∽， ∴， ∴，又∵，∴．

考查方向

本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到割线定理以及三角形相似等内容.重点考查考生对平面几何推理能力.

解题思路

先证明,再证，可证得

易错点

找不准三角形相似或全等的条件

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

PA=

解析

∵, ∴ ，∵ ∴

由27题可知：，解得.∴． ∵是⊙的切线，∴，∴，解得．

考查方向

本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到割线定理以及三角形相似等内容.重点考查考生对平面几何推理能力.

解题思路

先综合题中条件及27中结论，解出EP=,BP=,再由切割线定理，解得PA=

易错点

找不准三角形相似或全等的条件

题型：简答题

简答题 · 10 分

如图，A、B是圆O上的两点,且AB的长度小于圆O的直径，

直线与AB垂于点D且与圆O相切于点C.若

27. 求证：为的角平分线;

28.求圆的直径的长度。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）略；

解析

(I)如图22-1，由切割线定理得

= ，为的角平分线

考查方向

本题主要考查切割线定理、弦切角定理、直径所对的圆周角是直角、相等的圆周角所对的弦长相等等知识，意在考查考生的逻辑推理能力和运算能力。

解题思路

先根据切割线定理求出，然后求出，后即可得到答案；

易错点

不会根据切割线定理求解；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）4

解析

(2）：如图22-2连结并延长交圆于点,连结,

设延长线上一点为,则AE为圆O直径，

直线与圆O相切于点C. ，

（等角的余角相等）

（相等的圆周角所对的弦相等）

圆的直径为4

考查方向

本题主要考查切割线定理、弦切角定理、直径所对的圆周角是直角、相等的圆周角所对的弦长相等等知识，意在考查考生的逻辑推理能力和运算能力。

解题思路

先证明，后根据勾股定理即可求得答案。

易错点

不会做辅助线导致无法求出正确答案。

题型：简答题

简答题 · 10 分

22．选修4—1：几何证明选讲。

如图，于点，以为直径的圆与交于点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若，点在线段上移动，,与相交于点，求的最大值．

正确答案

解,（Ⅰ）在中，，于点，

所以，

因为是圆的切线，

由切割线定理得．

所以．

（Ⅱ）因为，所以．

因为线段的长为定值，即需求解线段长度的最小值．

弦中点到圆心的距离最短，此时为的中点，点与点或重合．

因此．

解析

（Ⅰ）在中，，于点，

所以，

因为是圆的切线，

由切割线定理得．

所以．

（Ⅱ）因为，所以．

因为线段的长为定值，即需求解线段长度的最小值．

弦中点到圆心的距离最短，此时为的中点，点与点或重合．

因此． 23. （Ⅰ）曲线：的直角坐标方程为．

曲线与轴交点为．

曲线：的直角坐标方程为．

曲线与轴交点为．

由，曲线与曲线有一个公共点在x轴上，知．

（Ⅱ）当时, 曲线：为圆．

圆心到直线的距离．

所以两点的距离．

考查方向

本题考查了几何选讲部分的直线与圆中的切割线定理、垂径定理以及直角三角形射影定理，高考在22题中的三选一出现。

解题思路

易错点

第一问未能准确读图，找到线段关系;第二问不能充分利用OF⊥NF得到，则无法继续求解。

知识点

圆的切线的判定定理的证明与圆有关的比例线段

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