热门试卷

（1）由是数列，，，有，

于是,

所有满足条件的数列的前项为：

；；；，   

（2）（必要性）设数列是等比数列，（为公比且），则

，若为数列，则有

（为与无关的常数）

所以，或，                           

（充分性）若一个等比数列的公比，则， ，所

以 为数列；

若一个等比数列的公比，则，

，所以为数列-

（3）因数列中，则

，

所以数列的前项和

假设存在正整数使不等式对一

切都成立，即

当时，，又为正整数，

，                                          

下面证明：对一切都成立。

由于

所以

（1）对每个n∈N*，当x＞0时，f′n（x）＝＞0，故fn（x）在（0，＋∞）内单调递增。

由于f1（1）＝0，当n≥2时，fn（1）＝＞0，故fn（1）≥0.

又·

，

所以存在唯一的xn∈，满足fn（xn）＝0.

（2）当x＞0时，fn＋1（x）＝fn（x）＋＞fn（x），故fn＋1（xn）＞fn（xn）＝fn＋1（xn＋1）＝0.

由fn＋1（x）在（0，＋∞）内单调递增知，xn＋1＜xn，故{xn}为单调递减数列，

从而对任意n，p∈N*，xn＋p＜xn.

对任意p∈N*，

由于fn（xn）＝，①

fn＋p（xn＋p）＝.②

①式减去②式并移项，利用0＜xn＋p＜xn≤1，

得xn－xn＋p＝

.

因此，对任意p∈N*，都有0＜xn－xn＋p＜.

（1）∵ ①，

当n≥2，n∈N*时，②，

由①②知：当 时， ，令n=3，则有

∵b3=6+b2， ∴a3=8。

∵{an}为等比数列，且a1=2，∴{an}的公比为q，则

由题意知an＞0，∴q＞0，∴q=2。

∴an＝2n（n∈N*）。

又由，得：

即

∴bn=n（n+1）（n∈N*）。

（2）（i）∵

∴ =

= =

=

（ii）因为c1=0，c2＞0，c3＞0，c4＞0；

当n≥5时，

而 ，得

所以，当n≥5时，cn＜0，

综上，对任意n∈N*恒有 ，故k=4。

（1）设等比数列的首项为，公比为，

，（）

=

即()

当,得，即，解得：

即.

（2）①，则，

设①     则②

①  -②得：2+

=+

（1）当时，有，解得。

当时，有，解得。

（2）（法一）当时，有, ………①

。 …………②

①—②得：，即：。

。

  。

另解：。

又当时，有，       。

（法二）根据，，猜想：。

用数学归纳法证明如下：

（1）当时，有，猜想成立。

（2）假设当时，猜想也成立，即：。

那么当时，有，

即：，①

又 ，  …②

①-②得：，

解，得 。

当时，猜想也成立。

因此，由数学归纳法证得成立，

（3），

。

（1）

（2）

（1）因为,当时,,即,

当时,,即,又

联立上述三个式子可得.

（2）由（1）可知

当时,由得,两式相减整理得,

即,即,又,

所以为首项为,公比为的等比数列,

所以,所以.

（3） 当时,显然成立,当时,显然成立。

当时,

又因为,所以, 所以

所以.