数列与不等式的综合
共132题

· 数列与不等式的综合

数列与不等式的综合
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题型：简答题

简答题 · 14 分

已知等比数列满足：公比，数列的前项和为，且（）。

（1）求数列和数列的通项和；

（2）设，证明：.

正确答案

见解析。

解析

(1) 解法一：由得，

由上式结合得，

则当时，， -

---

，

∵，∴，

∴数列是首项为，公比为4的等比数列

∴，∴.-

【解法二：由得，

由上式结合得，

则当时，，--

， -

∴，

∵，∴，-

∴.-

(2) 由得，-

【或】

∴----

知识点

由an与Sn的关系求通项an等比数列的性质及应用数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 14 分

设等差数列的公差为,是中从第项开始的连续项的和,即

(1) 若,,成等比数列,问:数列是否成等比数列?请说明你的理由;

(2) 若,证明:.

正确答案

见解析。

解析

知识点

等比数列的判断与证明数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 14 分

设数列的前项和为，数列的前项和为，且满足，。（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）记，，求证：。

正确答案

见解析。

解析

（1）当时，，因为，所以，解得

（2）当时，

所以 ①分，所以 ②，由②-①得，…

所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以

（3）当时，，当时， …

所以

知识点

由an与Sn的关系求通项an数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 14 分

设数列的前项和为，且满足。

（1）求证：数列为等比数列；

（2）设，求证：。

正确答案

见解析。

解析

（1），，

又，

是首项为，公比为的等比数列，且，

（2）当时，，

当时，，

故，

，

知识点

等比数列的判断与证明数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知动圆与直线相切，并与定圆相内切.

（1）求动圆圆心P的轨迹C的方程.

（2）过原点作斜率为1的直线交曲线C于（为第一象限点），又过作斜率为的直线交曲线C于，再过作斜率为的直线交曲线C于……如此继续，一般地，过作斜率为的直线交曲线C于，设.

①令，求证：数列是等比数列；

②数列的前n项和为，试比较大小.

正确答案

见解析

解析

知识点

等比数列的判断与证明数列与不等式的综合定义法求轨迹方程

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知正项数列的前n项和为，且。

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列与的前n项和为，求证：。

正确答案

见解析。

解析

知识点

由an与Sn的关系求通项an裂项相消法求和数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知数列成等差数列.

（1）的通项公式；

（2）数列.

正确答案

见解析。

解析

知识点

由an与Sn的关系求通项an等差数列的性质及应用数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 14 分

设函数，；，.

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，求函数的最大值；

（3）设，且，，证明：.

正确答案

见解析。

解析

（1）显然的定义域为，，

令，

ⅰ）当时：在区间上，恒成立，故的增区间为；

ⅱ）当时：在区间上，恒成立，故的减区间为；

在区间上，恒成立，故的增区间为.

（2）ⅰ）时，，所以；

ⅱ）时，易知，

于是：，，

由（1）可知，下证，

即证明不等式在上恒成立。

（法一）由上可知：不等式在上恒成立，

若，则，

故，

即当时，，从而，

故当时，恒成立，即.

（法二）令，，则，列表如下：

由表可知：当时，，

即恒成立，即.

由于，且，

故函数区间内必存在零点。

又当时，，

于是指数函数为增函数为增函数，

同理当时，，

于是指数函数为减函数也为增函数，

于是，当时，必为增函数，

从而函数在区间内必存在唯一零点，不妨记为，则，

易知当时，，此时单调递减；

当时，，此时单调递增，

又易知，故；

综上，当时，在上的最大值为.

（3）证法一：令，显然有：，，

则不等式.

注意到：，且，，即，且，

于是，，

故，

从而，即，又，

故原不等式成立，证毕.

证法二：同上可将不等式化为：,

即，令，则等价于证明：当时，有成立，

又，

故，

于是，即得证，

又，故原不等式成立，证毕。

知识点

函数单调性的性质函数的最值及其几何意义数列与函数的综合数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知数列{}的前n项和，数列{}满足，且。

（1）求，；

（2）设为数列{}的前n项和，求，并求满足<7时n的最大值。

正确答案

见解析。

解析

知识点

由an与Sn的关系求通项an错位相减法求和数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 13 分

在数列中，若（，，为常数），则称为数列。

（1）若数列是数列，，，写出所有满足条件的数列的前项；

（2）证明：一个等比数列为数列的充要条件是公比为或；

（3）若数列满足，，，设数列的前项和为。是否存在正整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。

正确答案

见解析

解析

（1）由是数列，，，有，

于是,

所有满足条件的数列的前项为：

；；；， ------------------4分

（2）（必要性）设数列是等比数列，（为公比且），则

，若为数列，则有

（为与无关的常数）

所以，或， ------------------2分

（充分性）若一个等比数列的公比，则，，所

以为数列；

若一个等比数列的公比，则，

，

所以为数列， ------------------4分

（3）因数列中，则

，

所以数列的前项和 ------------------1分

假设存在正整数使不等式对一

切都成立，即

当时，，又为正整数，

， -----------------3分

下面证明：对一切都成立。

由于

所以

------------------5分

知识点

充要条件的应用数列与不等式的综合不等式恒成立问题

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