数列与不等式的综合
共132题

· 数列与不等式的综合

数列与不等式的综合
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题型：简答题

简答题 · 12 分

17. 设数列的前项和，且是的等差中项.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和，求证：.

正确答案

（1）

（2）略

解析

（1）由已知，有，

即.

从而，.

又因为是的等差中项，即.解得.

所以数列是首项为，公比为的等比数列.故.

（2）由（1）得，所以，

两式相减

因为-=,所以数列递减

即,从而

考查方向

本题主要考查了等差和等比数列的基本性质以及等比数列求和错位相减法的运用，难度较小，属高考热点问题之一。数列问题在高考中常常涉及根据递推式求通项公式，数列的求和以及数列和不等式的结合等问题。

解题思路

第一问直接利用，找出相邻两项之间的关系，然后再根据等差中项的性质求出首项即可。第二问用错位相减法得到前n项和，然后直接得到小于2，再根据数列的单调性得到左边成立。

易错点

1、第一问中不能把灵活运用，或不会求首项；

2、第二问中右边端点通过求和就能证明，但是左边端点不能想到结合函数的单调性来解决。

知识点

由an与Sn的关系求通项an等差数列的性质及应用数列与不等式的综合

题型：填空题

填空题 · 5 分

16．已知等差数列的前项和为，公差为，，且．关于以下几种说法：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）当时，最大；

（5）．

其中正确的有（把你认为正确的说法都写上）

正确答案

（1）（2）（4）

解析

由得，因为第二个因式恒大于0，进行得到（另解：可构造函数，由函数的单调性与奇偶性推出）。又，，所以此等差数列就为递减数列，即，（1）对，（3）错；对于（2），由公式和性质知，对的；由性质知即所以为最后一项正项，故当时，最大，即（4）对；由故（5）错。

考查方向

本题主要考查了函数与数列的联系及等差数列的公式与性质。

易错点

不知道如何处理这个式子，对等差数列的性质不清。

知识点

等差数列的基本运算等差数列的性质及应用等差数列的前n项和及其最值数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 14 分

20．若实数数列满足，则称数列为“数列”．

（1）若数列是数列，且，求，的值；

（2）求证：若数列是数列，则的项不可能全是正数，也不可能全是负数；

（3）若数列为数列，且中不含值为零的项，记前项中值为负数的项的个数为，求所有可能取值．

正确答案

（1）

（2）见解析

（3）

解析

（1）因为是数列，且

所以，

所以,

所以，解得,

所以．

（2）假设数列的项都是正数，即，

所以，，与假设矛盾．

故数列的项不可能全是正数,

假设数列的项都是负数，

则而,与假设矛盾,

故数列的项不可能全是负数

（3）由(Ⅱ)可知数列中项既有负数也有正数，

且最多连续两项都是负数，最多连续三项都是正数．

因此存在最小的正整数满足（）．

设，则

．

故有, 即数列是周期为9的数列

由上可知这9项中为负数，这两项中一个为正数，另一个为负数，其余项都是正数．

因为,

所以当时，;

当时，这项中至多有一项为负数，而且负数项只能是,

记这项中负数项的个数为，

当时，若则，故为负数，

此时，；

若则，故为负数．

此时，，

当时，必须为负数，，,

综上可知的取值集合为。

考查方向

本题主要考察了数列中项的问题，属于难题，是高考的热点，解决此类题的关键：是会对数列中的项进行分析。

易错点

1、本题易在对数列中的项分析不全面出现错误。

2、对数列中项的性质研究不全面出现错误。

知识点

数列与函数的综合数列与不等式的综合

题型：填空题

填空题 · 14 分

20．某农场规划将果树种在正方形的场地内．为了保护果树不被风吹，决定在果树的周围种松树．在下图里，你可以看到规划种植果树的列数（）、果树数量及松树数量的规律：

（1）按此规律，时果树数量及松树数量分别为多少；并写出果树数量，及松树数量关于的表达式．

（2）定义：（）为增加的速度．现农场想扩大种植面积，问：哪种树增加的速度会更快？并说明理由．

正确答案

（1）时果树25棵，松树40棵；；．

（2）当时松树增加的速度快；当时果树增加的速度快．

解析

（1）时果树25棵，松树40棵

（2）

当时，2+1 < 8 ,

松树增加的速度快,

当时，2+1 > 8 ,

果树增加的速度快.

考查方向

本题主要考查归纳法求数列的通项公式，考查观察能力、归纳能力和即时学习能力．

解题思路

对题（1），可以通过观察、归纳得到通项公式；

对题（2），后项与前项作差比大小即可．

易错点

寻找各图中增加树木之间的关联容易出错，对新定义的概念不容易理解．

知识点

由数列的前几项求通项数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 14 分

某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张．为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变．

（1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列，每年发放的电动型汽车牌照数构成数列，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；

（2）从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？

正确答案

（1）

当且时，；

当且时，．而，

（2）当时，．

当时，

由得，

即，

解得

到2029年累积发放汽车牌照超过200万张

解析

本题属于数列的应用题，题目的难度是中等，本题的关键是：

（1）、从所给的数列中找出规律，并求出两数列的通项公式；

（2）、再根据数列的通项公式的分段函数性质，求出各自的前n项和，最后利用函数的性质给出答案。这类数列的应用题型较为常见。

考查方向

本题考查了数列与函数之间的综合应用，特别是分段函数与数列的应用

易错点

1、分类讨论：和的区别2、分类讨论的前n项和与的前n项和

知识点

等差数列的判断与证明等比数列的判断与证明分组转化法求和数列与不等式的综合

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