数列与不等式的综合
共132题

· 数列与不等式的综合

数列与不等式的综合
共132题

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题型：简答题

简答题 · 12 分

17．在等比数列中，．(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)设，且为递增数列，若，求证：．

正确答案

（1）时，；时，

（2）由题意知：

∴

解析

（1）具体的分析如下：时，；时，

（2）由题意知：

∴∴

∴

考查方向

等比数列的通项公式，裂项相消法求和．

解题思路

先求出bn，然后用裂项相消求和

易错点

分类讨论p=1和p不等1时候的情况

知识点

由数列的前几项求通项等比数列的基本运算数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 12 分

17．设为数列的前项和，已知，对任意，都有．

(Ⅰ)求数列的通项公式；

(Ⅱ）若数列的前项和为,求证：．

正确答案

证明，（Ⅰ）因为，

当时，，

两式相减，得，

即，

所以当时，．

所以．

因为，所以．

（Ⅱ）因为，，，

所以．

所以

．

因为，所以．

因为在上是单调递减函数，

所以在上是单调递增函数．

所以当时，取最小值．

所以．

解析

本题属于数列应用中的基本问题，两问难度相当，（I）直接按照步骤来求（II）要裂项相消求和即可．

考查方向

本题考查了数列的相关知识点：

1、利用递推公式推导通项公式；

2、数列中的关系；

3、利用递推公式求解通项公式要单独把n=1拿出来验证；

4、数列中常用的求和方法----裂项法。

解题思路

易错点

知识点

由an与Sn的关系求通项an数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 13 分

15．已知数列是等比数列，并且是公差为的等差数列.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，记为数列的前n项和，证明：.

正确答案

（Ⅰ）

解析

解：设等比数列的公比为，

因为是公差为的等差数列，

所以

即

解得.

所以．

（Ⅱ）证明：因为，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列.

所以

考查方向

本题第一问以等差数列概念及等差中项公式为载体考查等比数列通项公式的求法，第二问以第一问知识背景为基础构造新等比数列考查求和公式的使用。本题依托高考命题核心要点命制，构思精巧，注重考查学生的方程思想及思维的灵活性。

解题思路

本题主要考查考等差、等比数列的概念和性质及方程思想，解题思路如下：1、由条件是公差为的等差数列列出方程组2、由数列是等比数列把方程组中的由通项公式化成从而得到关于的方程组进而求出的值得出的通项公式；3、表示出，进而由等比数列定义证明数列为等比数列并指出其首项和公比后进而求出数列的前n项和，化简后可得

易错点

本题第二问直接把数列当作等比数列解题而不加证明可导致失分。

知识点

由数列的前几项求通项等比数列的性质及应用数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 18 分

已知函数（为常数，且），且数列是首项为4，公差为2的等差数列.

（1）求证：数列是等比数列；

（2）若，当时，求数列的前项和的最小值；

（3）若，问是否存在实数，使得是递增数列？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由．

正确答案

(1) 证：由题意，

即，

∴

∴.

∵常数且，∴为非零常数，

∴数列是以为首项，为公比的等比数列.

(2) 当时， , ，

所以

因为,所以，是递增数列，

因而最小值为

(3) 由(1)知，，要使对一切成立，

即对一切成立.

当时，，对一切恒成立；

当时，，对一切恒成立，只需，

∵单调递增，

∴当时，.

∴，且，

∴.

综上所述，存在实数满足条件.

解析

本题属于数列与不等式的综合应用题，题目的难度是偏难，本题的关键是：

（1）、利函数的性质求出数列的通项公式；

（2）、利用等比数列的求和公式求出前n项和的表达式，并求出最小值；

（3）、根据数学归纳法，分类讨论出k的取值范围。

考查方向

本题考查了数列的综合应用题，特别是数列与不等式之间的应用题

易错点

1、由，得出.不容易想到2、对的讨论求出最小值讨论需要仔细3、数学归纳法的应用需要注意细节

知识点

等比数列的判断与证明数列与函数的综合数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 12 分

18．设数列{an}的前n项和为Sn，己知a1=l，nan+1=(n+2)Sn，n∈N*.

（1）求证：是等比数列；

（2）设Tn= S1+S2+--+Sn，求证：(n+l) Tn<nSn+1．

正确答案

（1）；

（2）略．

解析

试题分析：本题属于数列中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难．

（1）由已知得。

所以是以1为首项，2为公比的等比数列。

（2）由上知。

……①

……②

①-②得：。

即(n+l) Tn<nSn+1．

考查方向

本题考查了数列的问题．属于高考中的高频考点。

解题思路

本题考查数列问题，解题步骤如下：

（1）利用等比数列的定义证明。

（2）利用错位相减法求和。

易错点

错位相减法求和时相减的结果项数易错。

知识点

等比数列的判断与证明数列与不等式的综合

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