热门试卷

解：

（1） 由，得

所以数列满足.

又，当n=4或5时，取得最大值20，即≤20.

综上，数列是数列.------------------4分

（2）因为，

所以当即时，，此时数列单调递增

当时，，此时数列单调递减；故数列的最大项是，所以，的取值范围是 ----------------9分

（3）①当时， 当时

由得，

即当时符合条件.

若，则,此时

于是

又对于有，所以当时数列是数列；

②当时，

取则：

由，所以时数列不是数列

③当时，

取则

由，所以时数列不是数列.

综上：当时数列是数列；当时数列不是数列

-----------------13分

（1），，     ………2分

，则

所以.                                                    ………4分

（2），所以，所以，

①当，即时，，所以，

解得（，舍去）.                        ………6分

②当，即时，，所以，

解得（，舍去）.                ………7分

③当，即时，，所以，

解得（，舍去）.                  ………9分

综上，，，.                         ………10分

（3）成立.                                                         ………11分

（证明1）

由是有理数，可知对一切正整数，为0或正有理数，可设（是非负整数，是正整数，且既约）.                                          ………12分

①由，可得；                                ………13分

②若，设（，是非负整数）

则 ，而由得

，故，，可得  ………14分

若则，                                              ………15分

若均不为0，则这正整数互不相同且都小于，

但小于的正整数共有个，矛盾.                                  ………17分

故中至少有一个为0，即存在，使得.

从而数列中以及它之后的项均为0，所以对不大于的自然数，都有.

（证法2，数学归纳法）                                              ………18分

（其它解法可参考给分）

（1）由题意知即      

∴               

检验知、时，结论也成立，故。              

（2）由于

故

。                             

解析：

（1），，，当时，

=2，所以为等比数列。 ，。

（2） 由（1）可得 

；   ，    ，

所以，且，所以的最小值为

（3）由（1）当时，

当时，，，

所以对正整数都有。

由，，(且)，只能是不小于3的奇数。

①当为偶数时，，

因为和都是大于1的正整数，

所以存在正整数，使得，，

,，所以且，

相应的，即有，为“指数型和”；

②当为奇数时，，由于是个奇数之和，

仍为奇数，又为正偶数，所以 不成立，此时没有“指数型和”。

（1）

方法一：因为，所以，

故，当且仅当时，等号成立.

方法二：

因为，所以，

故，当且仅当时，等号成立.

（2）由（1）知，又，

所以，所以.

（3）先证：

当n=1时，不等式显然成立；

假设当n=k（）时不等式成立，即.

当n=k+1时，由得，

即当n=k+1时，不等式成立；

综上，对一切都有成立.

再证：

由及（），得（），

所以当n=1时，不等式显然成立；

当时，假设存在k，使得，

则有，即，

所以，，┅，，，

与题设矛盾.

所以对一切都有成立.

所以对一切都有成立.

（1）由题意，当时，有，

两式相减得 即.

由，得.

所以对一切正整数n，有，

故，即.

（2）由（1），得，

所以  ①

①两边同乘以，得  ②

①-②，得，

所以，

故.

（3）由（1），得

.

（1），，解得

当时，；

当时，（不适合），所以

（2）当时，，；

当时，，

综上，对于任意的，都有。

解：（1）∵f（0）=﹣1＜0，f（1）=n2＞0，且f（x）在R上的图象是一条连续曲线，

∴f（x）在（0，1）内有零点，

∵f′（x）=3x2+n2＞0，∴f（x）在（0，1）上是增函数，f（x）在（0，1）内只有一个零点，

而an是函数f（x）=x3+n2x﹣1（n∈N+）的零点，

∴0＜an＜1；

（2）先证明左边的不等式，因an3+n2an﹣1=0，由（1）知0＜an＜1，

∴a＜an，即1﹣n2an=a＜an。

∴an＞，∴a1+a2+…+an＞++…+①

∵an＞≥=，

∴a1+a2+…+an＞1﹣+﹣+﹣+…+=，

再证明右边的不等式，由于f（）=+﹣1=﹣＜0，f（）=＞0，

∴＜a1＜，

由（1）知，0＜an＜1，且an3+n2an﹣1=0，

∴an=，

∵当n≥2时，a1+a2+…+an＜++﹣+﹣+…+﹣=1+﹣＜，

∴当n∈N*时，a1+a2+…+an＜，

综上，。