数列与不等式的综合
共132题

· 数列与不等式的综合

数列与不等式的综合
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题型：简答题

简答题 · 14 分

设数列的前项和为，数列的前项和为，且满足，。（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）记，，求证：。

正确答案

见解析。

解析

（1）当时，，因为，所以，解得

（2）当时，

所以 ①分，所以 ②，由②-①得，…

所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以

（3）当时，，当时， …

所以

知识点

由an与Sn的关系求通项an数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 14 分

设数列的前项和为，且满足。

（1）求证：数列为等比数列；

（2）设，求证：。

正确答案

见解析。

解析

（1），，

又，

是首项为，公比为的等比数列，且，

（2）当时，，

当时，，

故，

，

知识点

等比数列的判断与证明数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知动圆与直线相切，并与定圆相内切.

（1）求动圆圆心P的轨迹C的方程.

（2）过原点作斜率为1的直线交曲线C于（为第一象限点），又过作斜率为的直线交曲线C于，再过作斜率为的直线交曲线C于……如此继续，一般地，过作斜率为的直线交曲线C于，设.

①令，求证：数列是等比数列；

②数列的前n项和为，试比较大小.

正确答案

见解析

解析

知识点

等比数列的判断与证明数列与不等式的综合定义法求轨迹方程

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知数列成等差数列.

（1）的通项公式；

（2）数列.

正确答案

见解析。

解析

知识点

由an与Sn的关系求通项an等差数列的性质及应用数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 13 分

在数列中，若（，，为常数），则称为数列。

（1）若数列是数列，，，写出所有满足条件的数列的前项；

（2）证明：一个等比数列为数列的充要条件是公比为或；

（3）若数列满足，，，设数列的前项和为。是否存在正整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。

正确答案

见解析

解析

（1）由是数列，，，有，

于是,

所有满足条件的数列的前项为：

；；；， ------------------4分

（2）（必要性）设数列是等比数列，（为公比且），则

，若为数列，则有

（为与无关的常数）

所以，或， ------------------2分

（充分性）若一个等比数列的公比，则，，所

以为数列；

若一个等比数列的公比，则，

，

所以为数列， ------------------4分

（3）因数列中，则

，

所以数列的前项和 ------------------1分

假设存在正整数使不等式对一

切都成立，即

当时，，又为正整数，

， -----------------3分

下面证明：对一切都成立。

由于

所以

------------------5分

知识点

充要条件的应用数列与不等式的综合不等式恒成立问题

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