· 数列求和、数列的综合应用

· 数列与不等式的综合

数列与不等式的综合
共132题

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数列与不等式的综合
共132题

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1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知各项为正的数列的前项和为，且对任意正整数，有

（1）求的值；

（2）求数列的通项公式；

（3）若数列的前项和为，求的最大值。

正确答案

见解析。

解析

解：

知识点

由an与Sn的关系求通项an数列与不等式的综合

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知正项数列满足（）.

（1）证明：；

（2）证明：；

（3）证明：.

正确答案

见解析。

解析

（1）

方法一：因为，所以，

故，当且仅当时，等号成立.

方法二：

因为，所以，

故，当且仅当时，等号成立.

（2）由（1）知，又，

所以，所以.

（3）先证：

当n=1时，不等式显然成立；

假设当n=k（）时不等式成立，即.

当n=k+1时，由得，

即当n=k+1时，不等式成立；

综上，对一切都有成立.

再证：

由及（），得（），

所以当n=1时，不等式显然成立；

当时，假设存在k，使得，

则有，即，

所以，，┅，，，

与题设矛盾.

所以对一切都有成立.

所以对一切都有成立.

知识点

数列与不等式的综合

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知数列的前n项和为，且满足，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设为数列{}的前n项和，求；

（3）设，证明：.

正确答案

见解析。

解析

（1）由题意，当时，有，

两式相减得即.

由，得.

所以对一切正整数n，有，

故，即.

（2）由（1），得，

所以 ①

①两边同乘以，得 ②

①-②，得，

所以，

故.

（3）由（1），得

.

知识点

由an与Sn的关系求通项an错位相减法求和数列与不等式的综合

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

正项数列的前项和为满足：。

（1）求数列的通项公式；

（2）令，数列的前项和为，证明：对于任意的，都有。

正确答案

见解析

解析

（1），，解得

当时，；

当时，（不适合），所以

（2）当时，，；

当时，，

综上，对于任意的，都有。

知识点

由an与Sn的关系求通项an数列与不等式的综合

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

设an是函数f（x）=x3+n2x﹣1（n∈N+）的零点。

（1）证明：0＜an＜1；

（2）证明：。

正确答案

见解析。

解析

解：（1）∵f（0）=﹣1＜0，f（1）=n2＞0，且f（x）在R上的图象是一条连续曲线，

∴f（x）在（0，1）内有零点，

∵f′（x）=3x2+n2＞0，∴f（x）在（0，1）上是增函数，f（x）在（0，1）内只有一个零点，

而an是函数f（x）=x3+n2x﹣1（n∈N+）的零点，

∴0＜an＜1；

（2）先证明左边的不等式，因an3+n2an﹣1=0，由（1）知0＜an＜1，

∴a＜an，即1﹣n2an=a＜an。

∴an＞，∴a1+a2+…+an＞++…+①

∵an＞≥=，

∴a1+a2+…+an＞1﹣+﹣+﹣+…+=，

再证明右边的不等式，由于f（）=+﹣1=﹣＜0，f（）=＞0，

∴＜a1＜，

由（1）知，0＜an＜1，且an3+n2an﹣1=0，

∴an=，

∵当n≥2时，a1+a2+…+an＜++﹣+﹣+…+﹣=1+﹣＜，

∴当n∈N*时，a1+a2+…+an＜，

综上，。

知识点

函数零点的判断和求解数列与不等式的综合

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