数列与不等式的综合
共132题

· 数列与不等式的综合

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题型：简答题

简答题 · 13 分

18. 已知正数数列中，.若关于的方程有相等的实根。

（Ⅰ）求的通项公式。

（Ⅱ）求证。

正确答案

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知识点

由递推关系式求数列的通项公式数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 18 分

22．若和分别表示数列和前项的和，对任意正整数，，

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列满足，求的前项和；

（3）设集合，，若等差数列的任一项，是中的最大数，且，求的通项公式。

正确答案

（1）∵，

当时，

作差得：，

又，所以

（2）

（3）对任意，

，故可得

∵是中最大的数，

∴

设等差数列的公差为，

则

∵，

得

而是一个以为公差的等差数列，

∴

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知识点

由递推关系式求数列的通项公式错位相减法求和数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 13 分

21．设数列满足;

（1）当时，求并由此猜测的一个通项公式；

（2）当时，证明对所有的，

（i）

（ii）。

正确答案

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知识点

数列与不等式的综合归纳推理数学归纳法的应用

题型：简答题

简答题 · 12 分

20.数列{an}中，a1=8,a4=2且满足an+2=2an+1－an,（n∈N*）。

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设Sn=｜a1｜+｜a2｜+…+｜an｜,求Sn；

（3）设（n∈N*）,Tn=b1+b2+……+bn（n∈N*）,是否存在最大的整数m，使得对任意n∈N*均有成立？若存在,求出m的值;若不存在,说明理由。

正确答案

解：（1）由an+2=2an+1－anan+2－an+1=an+1－an可知{an}成等差数列，

d==－2,∴an=10－2n.

（2）由an=10－2n≥0可得n≤5，当n≤5时，Sn=－n2+9n，当n＞5时，Sn=n2－9n+40，故Sn=

（3）bn=

；要使Tn＞总成立，需＜T1=成立，即m＜8且m∈Z，故适合条件的m的最大值为7。

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知识点

由递推关系式求数列的通项公式分组转化法求和数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 14 分

20．　已知：二次函数的图象过点，且。

（1）求：的解析式；

（2）若数列满足，且，求：数列的通项公式；

（3）对于（2）中的数列，求证：

①；

②。

正确答案

解：（1）由，

∴　　

解得，即；

（2）∵，

∴ ，由叠加得，　

∴；

（3）①（）

当时，

②∵（），

∴，

，

即。

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知识点

函数解析式的求解及常用方法由递推关系式求数列的通项公式裂项相消法求和数列与函数的综合数列与不等式的综合

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