- 数列与不等式的综合
- 共132题
设等比数列的前项和为,已知()
(1)求数列的通项公式;
(2)在与之间插入个数,使这个数组成一个公差为的等差数列。
求证:()。
正确答案
见解析。
解析
(1)设等比数列的首项为,公比为,
,()
=
即()
当,得,即,解得:
即.
(2)①,则,
设① 则②
① -②得:2+
=+
知识点
已知数列的前项和为,且满足。
(1)求,的值;
(2)求;
(3)设,数列的前项和为,求证:。
正确答案
见解析。
解析
(1)当时,有,解得。
当时,有,解得。
(2)(法一)当时,有, ………①
。 …………②
①—②得:,即:。
。
。
另解:。
又当时,有, 。
(法二)根据,,猜想:。
用数学归纳法证明如下:
(1)当时,有,猜想成立。
(2)假设当时,猜想也成立,即:。
那么当时,有,
即:,①
又 , …②
①-②得:,
解,得 。
当时,猜想也成立。
因此,由数学归纳法证得成立,
(3),
。
知识点
设数满足:。
(1)求证:数列是等比数列;
(2)若,且对任意的正整数n,都有,求实数t的取值范围。
正确答案
见解析。
解析
(1)
(2)
知识点
请阅读下列材料:若两个正实数a1,a2满足,那么.
证明:构造函数,因为对一切实数x,恒有,所以 ,从而得,所以.
根据上述证明方法,若n个正实数满足时,你能得到的结论为 .(不必证明)
正确答案
解析
略
知识点
已知正项数列中,其前项和为,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)设是数列的前项和,是数列的前项和,求证:.
正确答案
见解析。
解析
(1)法一:由得
当时,,且,故
当时,,故,得,
∵正项数列,
∴
∴是首项为,公差为的等差数列。
∴ ,
∴ .
法二:
当时,,且,故
由得,
当时,
∴ ,
整理得
∵正项数列,,
∴ ,
∴是以为首项,为公差的等差数列,
∴ .
(2)证明:先证:
.
故只需证,
因为[]2
所以
所以
当取得到不等式,
相加得:
即:
知识点
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