· 数列求和、数列的综合应用

· 数列与不等式的综合

数列与不等式的综合
共132题

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数列与不等式的综合
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1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

设等比数列的前项和为，已知()

（1）求数列的通项公式；

（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列。

求证：()。

正确答案

见解析。

解析

（1）设等比数列的首项为，公比为，

，（）

=

即()

当,得，即，解得：

即.

（2）①，则，

设① 则②

① -②得：2+

=+

知识点

由an与Sn的关系求通项an等差数列的性质及应用数列与不等式的综合

1

题型：简答题

|

简答题 · 14 分

已知数列的前项和为，且满足。

（1）求，的值；

（2）求；

（3）设，数列的前项和为，求证：。

正确答案

见解析。

解析

（1）当时，有，解得。

当时，有，解得。

（2）（法一）当时，有, ………①

。 …………②

①—②得：，即：。

。

。

另解：。

又当时，有，。

（法二）根据，，猜想：。

用数学归纳法证明如下：

（1）当时，有，猜想成立。

（2）假设当时，猜想也成立，即：。

那么当时，有，

即：，①

又， …②

①-②得：，

解，得。

当时，猜想也成立。

因此，由数学归纳法证得成立，

（3），

。

知识点

由递推关系式求数列的通项公式错位相减法求和数列与不等式的综合

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

设数满足：。

（1）求证：数列是等比数列；

（2）若，且对任意的正整数n，都有，求实数t的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

（1）

（2）

知识点

等比数列的判断与证明数列与不等式的综合

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

请阅读下列材料：若两个正实数a1，a2满足，那么.

证明：构造函数，因为对一切实数x，恒有，所以，从而得，所以.

根据上述证明方法，若n个正实数满足时，你能得到的结论为 .（不必证明）

正确答案

解析

略

知识点

数列与函数的综合数列与不等式的综合

1

题型：简答题

|

简答题 · 14 分

已知正项数列中，其前项和为，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）设是数列的前项和，是数列的前项和，求证：.

正确答案

见解析。

解析

（1）法一：由得

当时，，且，故

当时，，故，得，

∵正项数列，

∴

∴是首项为，公差为的等差数列。

∴ ，

∴ .

法二：

当时，，且，故

由得，

当时，

∴ ，

整理得

∵正项数列，，

∴ ，

∴是以为首项，为公差的等差数列，

∴ .

（2）证明：先证：

.

故只需证，

因为[]2

所以

所以

当取得到不等式，

相加得：

即：

知识点

由an与Sn的关系求通项an数列与不等式的综合

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