数列与不等式的综合
共132题

· 数列与不等式的综合

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题型：简答题

简答题 · 13 分

20．已知数列满足，（）。

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求的前n项和；

（Ⅲ）设，数列的前n项和，求证：对。

正确答案

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知识点

由递推关系式求数列的通项公式裂项相消法求和数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 13 分

20．设函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递增，若对任意x，y∈(0，＋∞)都有：f(xy)＝f(x)＋f(y)成立，数列{an}满足：a1＝f(1)＋1，.设.

（1）求数列{an}的通项公式，并求Sn关于n的表达式；

（2）设函数g(x)对任意x、y都有：g(x＋y)＝g(x)＋g(y)＋2xy，若g(1)＝1，正项数列{bn}满足：，Tn为数列{bn}的前n项和，试比较4Sn与Tn的大小。

正确答案

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知识点

数列与函数的综合数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 12 分

17．已知数列的前n项和为，

（Ⅰ）证明：数列是等差数列，并求；

（Ⅱ）设，求证：

正确答案

（Ⅰ）证明：由知，当时：，

即，∴，对成立.

又是首项为1，公差为1的等差数列.

，∴.

（Ⅱ），

∴

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知识点

等差数列的判断与证明裂项相消法求和数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 18 分

23．实数列，由下述等式定义：

（1）若为常数，求的值；

（2）令，求数列（）的通项公式（用．来表示）；

（3）是否存在实数，使得数列（）是单调递增数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。

正确答案

（1），，

（2）由得即

（3）

要使为递增数列，则对任意恒成立，

当时，，当且为偶数时，

当时，，当且为奇数时，

而当时，对任意恒成立

存在实数，使得数列是单调递增数列

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知识点

由递推关系式求数列的通项公式数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 12 分

18．已知数列的前项和为，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，＝，记数列的前项和.若对，恒成立，求实数的取值范围．

正确答案

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知识点

由an与Sn的关系求通项an裂项相消法求和数列与不等式的综合利用基本不等式求最值

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