- 计数原理
- 共11505题
某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制当第一次烧制合格后方可进行第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品的合格率依次为0.5，0.6，0.4．经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品的合格率依次为0.6，0.5，0.75．
(Ⅰ)求第一次烧制后恰有两件产品合格的概率；
(Ⅱ)经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列及期望．
正确答案
解：(Ⅰ)分别记甲、乙、丙经过第一次烧制后合格为事件A1，A2，A3；
设E表示经过第一次烧制后恰好有两件合格，则
(Ⅱ)分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A，B，C，则
∴
所以，ξ的分布列为
∴
一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是l，2，3，4，5，现从盒子中随机抽取卡片，
(Ⅰ)若从盒子中有放回地抽取3次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到的卡片上数字为偶数的概率；
(Ⅱ)若从盒子中依次抽取卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，当取到一张记有偶数的卡片即停止抽取，否则继续抽取卡片，求抽取次数X的分布列和期望。
正确答案
解：(Ⅰ)设A表示事件“有放回地抽取3次卡片，每有两次取到的卡片上数字为偶数”，
由已知，每次取到的卡片上数字为偶数的概率为
则
(Ⅱ)依题意，X的可能取值为1，2，3，4，
所以，X的分布列为
设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p=______时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为______．
正确答案
由独立重复试验的方差公式可以得到
Dξ=npq≤n（
等号在p=q=
∴Dξ=100×
故答案为：
1，2，3，4，5共有5!种排列a1，a2，a3，a4，a5，其中满足“对所有k=1，2，3，4，5都有ak≥k-2”的不同排列有______种．
正确答案
就是现在所给出排列必须满足一个条件，就是要有ak≥k-2，比如a5≥3，所以现在a5并不能是5个数都可以了，必须要大于等于3，这样1，2这样的数字就不行．
具体做法可以先选a5，它只能选3，4，5，只有3种可能；接着选a4，它除了之前3个中选掉一个剩下的2个之外，还可以选数字2，所以依然只有3种可能…，a2只能有2种选择，a1只有一种选择．
所以排列数应该是3×3×3×2×1=2×35-2=54．
故答案为54．
已知二项式
正确答案
5
在一次电视节目的抢答中，题型为判断题，只有“对”和“错”两种结果，其中某明星判断正确的概率为p，判断错误的概率为q，若判断正确则加1分，判断错误则减1分，现记“该明星答完n题后总得分为Sn”．
（1）当p=q=
（2）当p=
正确答案
（1）∵ξ=|S3|的取值为1，3，又p=q=
∴P(ξ=1)=2
P(ξ=3)=(
∴ξ的分布列为：
∴Eξ=1×
Dξ=
3
2
)2+
3
2
)2=
（2）当S 8=2时，即答完8题后，回答正确的题数为5题，回答错误的题数是3题，
又已知Si≥0（i=1，2，3，4），若第一题和第二题回答正确，则其余6题可任意答对3题；
若第一题正确，第二题回答错误，第三题回答正确，则后5题可任意答对3题．
此时的概率为P=(
小白鼠被注射某种药物后，只会表现为以下三种症状中的一种：兴奋、无变化（药物没有发生作用）、迟钝．若出现三种症状的概率依次为
（Ⅰ）求这三只小白鼠表现症状互不相同的概率；
（Ⅱ）用ξ表示三只小白鼠共表现症状的种数，求ξ的分布列及数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）用Ai（i=1，2，3）表示第一只小白鼠注射药物后表现症状为兴奋、无变化、及迟钝， 用Bi（i=1，2，3）表示第二只小白鼠注射药物后表现症状为兴奋、无变化、及迟钝， 用Ci（i=1，2，3）表示第三只小白鼠注射药物后表现症状为兴奋、无变化、及迟钝．
三只小白鼠反应互不相同的概率为P=A33P（A1B2C3）=6×
（Ⅱ）ξ可能的取值为 ξ=1，2，3
P（ξ=3）=
故 P（ξ=2）=1﹣P（ξ=1）﹣P（ξ=3）=1﹣
所以，ξ的分布列是
如图，某学校要用鲜花布置花圃中A，B，c，D，E五个不同区域，要求同一区域上用同一种颜色的鲜花，相邻区域使用不同颜色的鲜花．现有红、黄、蓝、白、紫五种不同颜色的鲜花可供任意选择．
(Ⅰ)当A，D区域同时用红色鲜花时，求布置花圃的不同方法的种数；
(Ⅱ)求恰有两个区域用红色鲜花的概率；
(Ⅲ)记ξ为花圃中用红色鲜花布置的区域的个数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ。
正确答案
解：(Ⅰ)当A，D区域同时用红色鲜花时，其他区域小能用红色，
因此，布置花圃的不同方法的种数为4×3×3=36种。
(Ⅱ)设M表示事件“恰有两个区域用红色鲜花”，
当区域A、D间色时，共有5×4×3×1×3=180种；
当区域A、D不同色时，共有5×4×3×2×2=240种；
因此，所有基本事件总数为：180+240=420种（是等可能的）。
又因为A，D为红色时，共有4×3×3=36种；
B，E为红色时，共有4×3×3=36种；
因此，事件M包含的基本事件有：36+36=72种，
所以，
(Ⅲ)随机变量ξ的分布列为
所以，
（1）解不等式
（2）求
正确答案
（1）由于
则不等式的解集为：{4，5，6，7，8，9，10}；
（2）由题意知，原式中的正整数必须满足下列条件：
则原式=
已知二项式
正确答案
5
某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题.竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得-100分，假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响。
（1）求这名同学回答这三个问题的总得分ξ的概率分布和数学期望；
（2）求这名同学总得分不为负分（即ξ≥0）的概率。
正确答案
解：（1）
P（
P（
P（
P（
所以
根据
E
（2）这名同学总得分不为负分的概率为P（
甲、乙两队进行一场排球比赛．根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束。设各局比赛相互间没有影响，令ξ为本场比赛的局数，求ξ的概率分布和数学期望。（精确到0.0001）
正确答案
解：ξ的所有取值为3，4，5，
P(ξ=3)=
P(ξ=4)=
P(ξ=5)=
∴ξ的分布列为：
∴Eξ=3×0.28+4×0.3744+5×0.3456=0.84+1.4976+1.728=4.0656。
甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题。规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格，
（Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望；
（Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率。
正确答案
解：（Ⅰ）依题意，甲答对试题数ξ的概率分布如下：
甲答对试题数ξ的数学期望Eξ=
（Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，
则P(A)=
P(B)=
因为事件A、B相互独立，
∴甲、乙两人考试均不合格的概率为
∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为
答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为
甲、乙两人玩投篮游戏，规则如下：两人轮流投篮，每人至多投2次，甲先投，若有人投中则立即停止投篮，结束游戏；已知甲每次投中的概率为
（Ⅰ）求乙投篮次数不超过1次的概率；
（Ⅱ）甲、乙两人投篮次数的和为X，求X的分布列和数学期望。
正确答案
解：（Ⅰ）记甲投中为事件A，乙投中为事件B，
所以
因为“乙投篮次数不超过1次”的对立事件是“乙投篮2次”，
故所求的概率是
答：乙投篮次数不超过1次的概率为
（Ⅱ）因为甲、乙投篮总次数X的取值为1，2，3，4，
所以
甲、乙投篮次数总和X的分布列为
甲、乙投篮总次数X的数学期望为
答：甲、乙投篮次数总和X的数学期望为
某运动员射击一次所得环数X的分布列如下：
现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为ξ，
(Ⅰ)求该运动员两次都命中7环的概率；
(Ⅱ)求ξ的分布列；
(Ⅲ)求ξ的数学期望Eξ。
正确答案
解：(Ⅰ)求该运动员两次都命中7环的概率为
(Ⅱ)ξ的可能取值为7、8、9、10，
ξ的分布列为
(Ⅲ)ξ的数学期望为
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