- 计数原理
- 共11505题
给定k∈N*，设函数f：N*→N*满足：对于任意大于k的正整数n：f（n）=n-k.
（1）设k=1，则其中一个函数f（x）在n=1处的函数值为（ ）；
（2）设k=4，且当n≤4时，2≤f（n）≤3，则不同的函数f的个数为（ ）。
正确答案
（1）a（a为正整数）；（2）16
集合A={1，2}，B={1，2，3}，f：A→B为集合A到集合B的一个函数，如果这个函数的值域有且只有两个元素，则这样的函数的个数为______．
正确答案
∵满足题意的一个函数可能为：
f（1）=1，f（2）=2；或f（1）=2，f（2）=1；或f（1）=1，f（2）=3；
f（1）=3，f（2）=1；或f（1）=2，f（2）=3；或f（1）=3，f（2）=2；
∴满足题意的函数有6个
故答案为：6．
某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成．
（1）选其中1人为学生会主席，有多少种不同的选法？
（2）若每年级选1人为校学生会常委，有多少种不同的选法？
（3）若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？
正确答案
（1）N=5+6+4=15；（2）N=5×6×4=120；（3）N=5×6+6×4+4×5=74．
（1）选其中1人为学生会主席，各年级均可，分三类：N=5+6+4=15种；
（2）每年级选1人为校学生会常委，可分步从各年级分别选择，N=5×6×4=120种；
（3）要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，首先按年级分三类“1，2年级”，“1，3年级”，“2，3年级”，
再各类分步选择：N=5×6+6×4+4×5=74种．
对于各数互不相等的正数数组（i1，i2，…，in）（n是不小于2的正整数），如果在p＜q时有ip＞iq，则称ip与iq是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”． 例如，数组（2，4，3，1）中有逆序“2，1”，“4，3”，“4，1”，“3，1”，其“逆序数”等于4． 若各数互不相等的正数数组（a1，a2，a3，a4）的“逆序数”是2，则（a4，a3，a2，a1）的“逆序数”是 ．
正确答案
各数互不相等的正数数组（a1，a2，a3，a4）的“逆序数”是2，
所以（a4，a3，a2，a1）的“正序数”是2，
则（a4，a3，a2，a1）中任取2个的组合有C42=6个，
所以（a4，a3，a2，a1）的“逆序数”为：6-2=4．
故答案为：4．
在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有 ______个．
正确答案
由题意知，本题是一个分类计数问题，
由于个位数字大于十位数字
∴按个位数字是2，3，4，5，6，7，8，（9分）成8类，
在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，
∴共有1+2+3+4++7+8=36（个）．
故答案为：36
5个相同的白球和6个相同的黑球放在三个不同的盒子中，要求每个盒子中至少白球黑球各一个，则一共有______种不同的放法．
正确答案
第一步放白球，由于白球没有区别，故分为三组，只是数量上的区别，分组方法有3，1，1与2，2，1两种分组法，放在三个不同的盒子中，共有
第二步放黑球，由于黑球没有区别，只是分组时数量上的区别，分组方法有4，1，1与3，2，1与2，2，2三种，放在三个不同的例子中的放法种数是
由分步原理知，一共有6×10=60种放法
故答案为60
在（x+1）（2x+1）…（10x+1），（x∈N）的展开式中一次项的系数为______．（用数字作答）
正确答案
（x+1）（2x+1）（3x+1）…（10x+1）展开式中x的一次项系数为每个括号中x的系数
与其它括号中的常数项1相乘得到的结果，
故x的一次项系数为 1+2+3+4+…+10=
故答案为：55．
某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有 ______种．（以数字作答）
正确答案
所有的选法数为C74，两门都选的方法为C22C52，
故共有选法数为C74-C22C52=35-10=25．
故答案为：25
4个人各写一张贺年卡，集中后每人取一张别人的贺年卡，共有______种取法．
正确答案
根据分类计数问题，可以列举出所有的结果，
1甲乙互换，丙丁互换
2甲丙互换，乙丁互换
3甲丁互换，乙丙互换
4甲要乙的 乙要丙的 丙要丁的 丁要甲的
5甲要乙的 乙要丁的 丙要甲的 丁要丙的
6甲要丙的 丙要乙的 乙要丁的 丁要甲的
7甲要丙的 丙要丁的 乙要丁的 丁要甲的
8甲要丁的 丁要乙的 乙要丙的 丙要甲的
9甲要丁的 丁要丙的 乙要甲的 丙要乙的
通过列举可以得到共有9种结果，
故答案为：9
某学生填报高考志愿，有m（m≥3）个不同的志愿可供选择，若要求该生必须按第一、二、三志愿依次填写3个不同的志愿，且每个志愿必须填报，求该生填写志愿的方式的种数。
正确答案
解：根据题意知，完成事件：3个志愿栏处分别有1个不同的志愿，
第1步，第一志愿有m种选择；
第2步，第二志愿有m-1种选择；
第3步，第三志愿有m-2种选择；
由分步乘法计数原理知，共有N=m（m-1）（m-2）种填报方法。
3个人要坐一排8个空座位上，若每个人左右都有空座位，则不同的坐法有多少种？
正确答案
解：给3个人安排座位，要求每人左右都有空位，故从大处着眼，以“人”这个元素分步。不妨设三人为甲、乙、丙，题中隐含条件是5个剩余空位，用○代表，即○○○○○，
由题意知中间4处空档可插入人，则第1步，甲可以有4种插法；
第2步，乙可以有3种插法；第3步，丙可以有2种插法，
由分步乘法计数原理知共有4×3×2=24种方法。
某城市的交通道路如图，从城市的西南角A到城市的东北角B，经过十字道路维修处C，最近的走法种数有（ ）种。
正确答案
60
回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22，，11，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33…，99.3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则：
（1）4位回文数有（ ）个；
（2）2n+1（n∈N+）位回文数有（ ）个。
正确答案
（1）90；（2）9×10n
将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色．若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法种数为______．
正确答案
设四棱锥为P-ABCD．
下面分两种情况即B与D同色与B与D不同色来讨论，
（1）P：C51，A：C41，B：C31，
B与D同色：D：1，C：C31．
（2）P：C51，A：C41，B：C31，
B与D不同色：D：C21，C：C21．
共有C51•C41•C31•1•C31+C51•C41•C31•C21•C21=420．
故答案为：420．
圆周上有2n个等分点（n＞1），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为（ ）。
正确答案
2n(n-1)
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