- 计数原理
- 共11505题
某邮局现在只有面值为0.4，0.8，1.5的三种邮票，现有邮资为10.2元的邮件，为使粘贴的邮票张数最少，且资费金额恰为10.2元，则购买邮票______张．
正确答案
尽量多选1.5元的邮票，
若粘贴1.5元的邮票7张，
但这种情况总邮资超过了10.2元，所以不合；
若粘贴1.5元邮票6张，
邮资还差10.2-6×1.5=1.2元，
恰好还需0.4元邮票1张，0.8元邮票1张，共8张．适合题意．
故答案为：8．
如图，点P1，P2，…，P10分别是四面体顶点或棱的中点．那么，在同一平面上的四点组（P1，Pi，Pj，Pk）（1＜i＜j＜k≤10）有 ______个．
正确答案
先做出三个侧面上的在同一平面上的四点组均过P1点，
∵每一个侧面上除P1外都有五个点，五选三即可共有3C53，
还包括P1所在的三条棱上有三个，
∴根据分类计数原理知共有3C53+3=33．
故答案为：33．
已知P（11，2）是圆x2+y2+2x-4y-164=0内一点，则过P点的所有弦中，弦长为整数的共有______条．
正确答案
∵圆x2+y2+2x-4y-164=0化成标准方程得：（x+1）2+（y-2）2=169
∴x2+y2+2x-4y-164=0的圆心为C（-1，2），半径r=13
∵P（11，2）到圆C的距离为|PC|=
∴结合垂径定理，得经过P点且与PC垂直的弦长为2
即经过点P最短的弦长等于10
又∵经过点P最长的弦为圆C的直径2r=26
∴经过点P且长度为整数的弦长可能是：10，11，12，…，26
其中长度为10和26的各有一条，根据对称性得长度为11，12，…，25的弦各有两条
因此，弦长为整数的弦共有2（25-10）+2=32条
故答案为：32
从-3，-2，-1，1，2，3中任取三个不同的数作为椭圆方程ax2+by2+c=0中的系数，则确定不同椭圆的个数为______．
正确答案
∵方程 
∴
从-3，-2，-1，1，2，3中任取三个不同的数，
要满足c与a，b符号相反，
先取c选三个负数中的一个，a，b需要从三个正数中选两个，
满足条件的选法2C31•C32=18，
故答案为：18．
某市有A、B两所示范高中响应政府号召，对该市甲、乙两个教育落后地区开展支教活动．经上级研究决定：向甲地派出3名A校教师和2名B校教师，向乙地派出3名A校教师和3名B校教师．由于客观原因，需从拟派往甲、乙两地的教师中各自任选一名互换支教地区．
（Ⅰ）求互换后两校派往两地区教师人数不变的概率；
（Ⅱ）求互换后A校教师派往甲地区人数不少于3名的概率．
正确答案
（Ⅰ）记“互换后派往两地区的两校的教师人数不变”为事件E，有以下两种情况：
①互换的是A校的教师，记此事件为E1，则P（E1）=
②互换的是B校的教师，记此事件为E2，则P（E2）=
则互换后派往两地区的两校的教师人数不变的概率为P（E）=P（E1）+P（E2）=
（Ⅱ）令“甲地区A校教师人数不少于3名”为事件F，包括两个事件：“甲地区A校教师人数有3名”设为事件F1；“甲地区A校教师人数有4名”设为事件F2，且事件F1、F2互斥．
则P（F1）=
甲地区A校教师人数不少于3名的概率为P（F）=P(F1)+P(F2)=
一个袋子中有8个小球，其中有4个白球和4个黑球，现从中每次任意取出一个球，8次取完，求恰好有3次连续取出白球的概率．
正确答案
由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件数是
满足条件的事件是3次连续取出白球有20种，
∴恰好有3次连续取出白球的概率是
即恰好三次连续取出白球的概率是
一个袋子里装有大小相同且标有数字1～5的若干个小球，其中标有数字1的小球有1个，标有数字2的小球有2个，…，标有数字5的小球有5个．
（Ⅰ）从中任意取出1个小球，求取出的小球标有数字3的概率；
（Ⅱ）从中任意取出3个小球，求其中至少有1个小球标有奇数数字的概率；
（Ⅲ）从中任意取出2个小球，求小球上所标数字之和为6的概率．
正确答案
袋子里共装有1+2+3+4+5=15个小球．
（Ⅰ）∵标有数字3的小球共有3个，
∴取出标有数字3的小球的概率为P1=
（Ⅱ）标有偶数数字的小球共有2+4=6个，
取出的3个小球全标有偶数数字的概率为
∴任意取出3个小球中至少有1个标有奇数数字的概率为P2=1-
（Ⅲ）2个小球上所标数字之和为6有三种情况，即（1，5），（2，4），（3，3）．（10分）
所求概率P=
从集合{-1，1，2，3}中任意取出两个不同的数记作m，n，则方程
正确答案
焦点在x轴上的双曲线
则m＞0，n＜0
所以n=-1，适合题意的有3种，
从集合{-1，1，2，3}中任意取出两个不同的数记作m，n，共有A42=12种取法，
焦点在x轴上的双曲线的概率是：
故答案为 
某公司在“2010年上海世博会知识宣传”活动中进行抽奖活动，抽奖规则是：在一个盒子中装有8张大小相同的精美卡片，其中2张印有“世博会欢迎您”字样，2张印有“世博会会徽”图案，4张印有“海宝”（世博会吉祥物）图案，现从盒子里无放回的摸取卡片，找出印有“海宝”图案的卡片表示中奖且停止摸卡．
（I）求恰好第三次中奖的概率；
（II）求最多摸两次中奖的概率；
正确答案
（Ⅰ）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
∵试验发生包含的所有事件是从8个元素中选3个，共有A83种结果，
而满足条件的事件数是A42A42，
∴恰好第三次中奖的概率为：P=
（Ⅱ）最多摸两次中奖包括两种情况，一是第一次模卡中奖，二是第二次模卡中奖
这两个事件是互斥事件，
∵第一次摸卡中奖的概率为：P1=
第二次摸卡中奖的概率为：P2=
∴根据互斥事件的概率公式得到最多摸两次中奖的概率为P=P1+P2=
现有甲、乙两个盒子，甲盒子里盛有4个白球和4个红球，乙盒子里盛有3个白球和若干个红球，若从乙盒子里任取两个球取得同色球的概率为
（1）求乙盒子中红球的个数；
（2）从甲、乙盒子里任取两个球进行交换，若交换后乙盒子里的白球数和红球数相等，就说这次交换是成功的，试求进行一次这样的交换成功的概率是多少？
正确答案
（1）设乙盒中有个n红球，共有
其中取得同色球的取法有
故
即n=5．
（2）甲、乙两盒中任取两球交换后乙盒中白球与红球相等，则
①从甲盒中取出二个白球与乙盒中取出一个白球一个红球进行交换，
②从甲盒中取出一个红球和一个白球与乙盒中取出二个红球进行交换
则概率为P=
答：（1）乙盒中有红球5个，（2）进行一次成功交换的概率为
学校文娱队中的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有5人，会跳舞的有7人，现从中随机选出3人．记X为选出的3人中既会唱歌又会跳舞的人数，且P（X≥1）=
（Ⅰ）求学校文娱队中既会唱歌又会跳舞的人数；
（Ⅱ）求选出的3人中1人会唱歌2人会跳舞的概率．
正确答案
（Ⅰ）设学校文娱队中既会唱歌又会跳舞的人数为n，则文娱队共有12-n个人，其中只会唱歌或只会跳舞一项的人数为12-2n人． …（2分）
由 P(X≥1)=
所以 
即 
注意到12-2n≥3，且n是整数，从而n=0，1，2，3，4．
将n的这5个值代入上式检验，得n=2符合题意，所以学校文娱队中既会唱歌又会跳舞的有2人． …（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知学校文娱队的人数为10人，其中只会唱歌的有3人，只会跳舞的有5人，既会唱歌又会跳舞的有2人． …（9分）
设“选出的3人中1人会唱歌2人会跳舞”为事件A，…（10分）
所以，P(A)=
某人有5把钥匙，一把是房门钥匙，但忘记了开房门的是哪一把．于是，他逐把不重复地试开，问：
（1）恰好第三次打开房门锁的概率是多少？
（2）三次内打开的概率是多少？
（3）如果5把内有2把房门钥匙，那么三次内打开的概率是多少？
正确答案
由题意知本题是一个古典概型，
试验包含的所有事件是5把钥匙，逐把试开有A55种等可能的结果．
（1）满足条件的事件是第三次打开房门的结果有A44种，
因此第三次打开房门的概率P（A）=
（2）三次内打开房门的结果有3A44种，
所求概率P（A）=
（3）∵5把内有2把房门钥匙，
故三次内打不开的结果有A33A22种，
从而三次内打开的结果有A55-A33A22种，所求概率P（A）=
有甲、乙两只口袋，甲袋装有4个白球2个黑球，乙袋装有3个白球和4个黑球，若从甲、乙两袋中各任取出两球后并交换放入袋中．
（Ⅰ）求甲袋内恰好有2个白球的概率；
（Ⅱ）求甲袋内恰好有4个白球的概率．
正确答案
（Ⅰ）设甲袋内恰好有2个白球为事件A，
则事件A为：甲袋中取2个白球，且乙袋中取2个黑球
∴甲袋内恰好有2个白球的概率为P=
（Ⅱ）设甲袋内恰好有4个白球为事件B，则B包含三种情况．
①甲袋中取2个白球，且乙袋中取2个白球；
②甲袋中取1个白球，1个黑球，乙袋中取1个白球，1个黑球；
③甲、乙两袋中各取2个黑球．
∴甲袋内恰好有2个白球的概率为
P(B)=
在袋中装20个小球，其中彩球有n个红色、5个蓝色、10个黄色，其余为白球．
求：
（1）如果从袋中取出3个都是相同颜色彩球（无白色）的概率是
（2）根据（1）的结论，计算从袋中任取3个小球至少有一个是红球的概率．
正确答案
（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率问题，
试验包含的所有事件是从20个球中取3个球球的种数为C203=1140．
设“3个球全为红色”为事件A，
“3个球全为蓝色”为事件B，
“3个球全为黄色”为事件C．
P（B）=
∵A、B、C为互斥事件，
∴P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C），
即
P（A）=0
∴取3个球全为红球的个数≤2．
又∵n≥2，故n=2．
（2）记“3个球中至少有一个是红球”为事件D．
则
P（D）=1-P（
P（D）=
4位顾客将各自的帽子随意放在衣帽架上，然后，每人随意取走一顶帽子，求：
（1）4人拿的都是自己的帽子的概率；
（2）恰有3人拿的都是自己的帽子的概率；
（3）恰有1人拿的都是自己的帽子的概率；
（4）4人拿的都不是自己的帽子的概率．
正确答案
4位顾客将各自的帽子随意放在衣帽架上，共有
（1）4人拿的都是自己的帽子，共有1种情况，故P(A)=
（2）有3人拿的都是自己的帽子，则第4人拿的也是自己的帽子，故P（B）=0；
（3）恰有1人拿的都是自己的帽子，共有
（4）4人拿的都不是自己的帽子，共有
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