- 计数原理
- 共11505题
有11名外语翻译人员，其中5名英语翻译员，4名日语翻译员，另两名英、日语都精通，从中找出8人，使他们组成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组能同时工作，问这样的分配名单共可开出几张？
正确答案
按“多面手”的参与情况分成三类．
第一类：多面手不参加，这时有C54C44种；
第二类：多面手中有一人入选，
这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能，
因此有C21C53C44+C54C21C43种；
第三类：多面手中两个均入选，
这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种，
因此有C22C52C44+C54C22C42+C21C53C11C43种．
综上分析，共可开出C54C44+C21C53C44+C54C21C43+C22C52C44+C54C22C42+C21C53C11C43=185种．
3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是________．
正确答案
288
先保证3位女生中有且只有两位女生相邻，则有
C32·A22·A33·A42种排法，再从中排除甲站两端的排法，
∴所求排法种数为A22·C32·(A33A42－2A22·A32)＝6×(6×12－24)＝288.
用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有________个(用数字作答)．
正确答案
324
分两大类：(1)四位数中如果有0，这时0一定排在个、十、百位的任一位上，如排在个位，这时，十、百位上数字又有两种情况：①可以全是偶数；②可以全是奇数．故此时共有C32A33C41＋C32A33C41＝144(种)．(2)四位数中如果没0，这时后三位可以全是偶数，或两奇一偶．此时共有A33C31＋C32C31A33C31＝180(种)．故符合题意的四位数共有144＋180＝324(种)．
写出（1+i）10的二项展开式（i为虚数单位），并计算C101-C103+C105-C107+C109的值．
正确答案
（1+i）10=C1010+C101i+C102i2+…+C109i9+C1010i10．
因为C101-C103+C105-C107+C109即为（1+i）10的展开式中的虚部，
又（1+i）10=[（1+i）2]5=（2i）5=32i，
所以C101-C103+C105-C107+C109=32．
从任意4点皆不共面的空间10个点中，任取4个点作为一个四面体的4个顶点，则一共可作______个四面体．
正确答案
由于任意4点皆不共面，故任取4个点都可以得到一个四面体，所以一共可作
故答案为210
现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是________．
正确答案
126
依题意得，这四项工作中必有一项工作有2人参加．因为甲、乙不会开车，所以只能先安排司机，分两类：(1)从丙、丁、戊三人中任选一人开车；再从其余四人中任选两人作为一个元素同其余两人从事其他三项工作，共有C31C42A33种方案；(2)先从丙、丁、戊三人中任选两人开车，其余三人从事其他三项工作，共有C32A33种方案，所以不同安排方案的种数是C31C42A33＋C32A33＝126.
某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中
(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？
(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？
(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？
(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？
正确答案
（1）816 （2）8568 （3）6936 （4）14656
解：(1)只需从其他18人中选3人即可，
共有C183＝816(种)；
(2)只需从其他18人中选5人即可，共有C185＝8568(种)；
(3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，
共有C21C184＋C183＝6936(种)；
(4)法一(直接法) 至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类：一内四外；二内三外；三内二外；四内一外，所以共有C121C84＋C122C83＋C123C82＋C124C81＝14656(种)．
法二(间接法) 由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得C205－(C125＋C85)＝14656(种)．
从6名短跑运动员中选4人参加4×100米接力，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则共有____________多少种参赛方法（用数字作答）．
正确答案
252
略
3男2女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？
（1）任何2名女生都不相邻有多少种排法？
（2）男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？
（3）男甲在男乙的左边（不一定相邻）有多少种不同的排法？
正确答案
（1）由于任何2名女生都不相邻，故采用插空法，3名男生的排列有
（2）利用间接法，可得
（3）由于男甲要么在男乙的左边，要么在男乙的右边，所以男甲在男乙的左边（不一定相邻）有
（1）计算：C33+C43+C53+…+C103
（2）证明：Ank+kAnk-1=An+1k．
正确答案
（1）∵Cmn+Cm-1n=Cmn+1，
∴原式=C44+C43+C53+…+C103
=C54+C53+C63+…+C103
=C64+C63+C73+…+C103
=…
=C104+C103
=C114
=330
（2）证明：∵
∴左边=
=
=
=An+1k=右边
某校学生会由高一年级的4名学生、高二年级的5名学生、高三年级的4名学生组成，现从学生会中选出
2名学生，参加一次活动，则此2名学生不属于同一个年级的选出方法共有______种．
正确答案
选出的两名学生，高一、高二各一名共有4×5=20种；
高一、高三各一名共有4×4=16种；
高二、高三各一名共有5×4=20种；
参加一次活动，则此2名学生不属于同一个年级的选出方法共有 20+16+20=56种．
故答案为：56
从0，1，2，3，4这五个数字中，任取三个组成没有重复数字的三位数，其中偶数的个数是______．（用数字作答）
正确答案
根据分类计数原理知，
当末位是0时，十位和百位从4个元素中选两个进行排列有A42=12种结果，
当末位不是0时，只能从2和4中选一个，百位从3个元素中选一个，十位从三个中选一个共有A21A31A31=18种结果，
根据分类计数原理知共有12+18=30种结果，
故答案为：30．
正确答案
原式=
故答案为：210．
某工厂为了保障安全生产，每月初组织工人参加一次技能测试．甲工人通过每次测试的概率是
（I）求甲工人连续3个月参加技能测试至少1次未通过的概率；
（II）求甲工人连续3个月参加技能测试恰好通过2次的概率；
（III）工厂规定：工人连续2次没通过测试，则被撤销上岗资格．求甲工人恰好参加4次测试后被撤销上岗资格的概率．
正确答案
（I）由题意知，甲工人连续3个月参加技能测试至少1次未通过
的对立事件是甲工人连续3个月参加技能测试都通过，
记“甲工人连续3个月参加技能测试，至少有1次未通过”为事件A1，
∵甲工人通过每次测试的概率是
∴P(A1)=1-P(
（II）由题意知本题是一个独立重复试验，
甲工人连续3个月参加技能测试恰好通过2次表示试验进行了三次有两次发生，
记“连续3个月参加技能测试，甲工人恰好通过2次”为事件A2，
则P(A2)=
（III）∵工人连续2次没通过测试，则被撤销上岗资格．
甲工人恰好参加4次测试后被撤销上岗资格包括两种情况，一是第一和第二次合格第三和第四次不合格；二是第一次不合格第二次合格第三和第四次不合格，
记“甲工人恰好测试4次后，被撤销上岗资格”为事件A3，
P(A3)=(
将7×7的棋盘中的2个方格染成黄色，其余的染成绿色．若一种染色法经过在棋盘的平面中旋转而得到，那么这两种染色法看着是同一种，则有______种不同的染色法．
正确答案
因为是7×7棋盘，有4条对称轴，不同染色法有 
还有对称轴上关于中心对称的情况 12÷2=6 种，
故一共有294+6=300种，
故答案为 300．
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