- 计数原理
- 共11505题
如果在一周内安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余两所学校均只参观一天，那么不同的安排方法共有______种．
正确答案
分两步完成，第一步先安排甲学校参观，共六种安排方法；第二步安排另外两所学校，共有A52安排方法，
故不同的安排种法有6×A52=120，
故答案为120．
氨基酸的排列顺序是决定蛋白质多样性的原因之一，其肽链由7种不同的氨基酸构成，若只改变其中的三种氨基酸的位置，其余四种不变，则不同的改变方法有______．
正确答案
由分步计数原理：
第一步．先从7种氨基酸里选3种改变其位置，
第二步．因为被选每种氨基酸都不能在原来的位置上，
因此第一种氨基酸有两种放法，
被占据了位置的那种只能坐在第三种的位置上（一种放法），
才能保证三种也不放在自己的位置上．
因此三种氨基酸调换方法有两种．
故不同的改变方法有C73×2=70，
故答案为：70
在一张节目表上原有6个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去三个节目，求共有多少种安排方法？
正确答案
添加的三个节目有三类办法排进去
①三个节目连排，有C71A33种方法；
②三个节目互不相邻，有A73种方法；
③有且仅有两个节目连排，有C31C71C61A22种方法．
根据分类计数原理共有C71A33+A73+C31C71C61A22=504种，
答：共有540种安排方法．
古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有______种（结果用数值表示）．
正确答案
由题意，可看作五个位置排列五种事物，第一位置有五种排列方法，不妨假设排上的是金，
则第二步只能从土与水两者中选一种排放，故有两种选择不妨假设排上的是水，
第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只能排上土，
故总的排列方法种数有5×2×1×1×1=10
故答案为10
一个口袋中有大小相同的3个红球和2个白球，从袋中每次至少取一个球，共3次取完，并将3次取到的球分别放入三个不同的箱中，则不同的放法共有______种．
正确答案
由题意，本题是一个将五个小球分为三组的问题，着色相同的小球之间无区别
五个小球分三组，只有3、1、1与2、2、1两种方式
若为3、1、1型，二白在一起，一种分法，放入三个不同的箱中有三种方法，二白球不在一起有两种分法，当两球各单独一组时，放入三个箱中有三种放法，两球不全单独时，有A
若为2、2、1型，二白在一起，一种分法，放入三个不同的盒子共有A
综上，不同的放法种数为3+3+6+6+3+6=27种
故答案为27
某班级要从4名男生、2名女生中选派2人参加某次社区服务，如果要求男、女生各1名，那么不同的选派方案种数为______．
正确答案
先选一名男生，有4种方法；再选一名女生，由2种方法，
根据分步计数原理求得选取男、女生各1名，不同的选派方案种数为 4×2=8，
故答案为 8．
4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛．
（1）若每人限报一科，则有多少种不同的报名方法？
（2）若每人最多参加一科，且每项竞赛只允许一人参加，有多少种不同的报名方法？
（3）若4人争夺这三科的冠军，每科冠军只有一人，则有多少种不同的结果？
正确答案
（1）4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，若每人限报一科，则每人有3种报名方法，
则4人共有3×3×3×3=81种方法，
答：每人限报一科，有81种不同的报名方法；
（2）若每人最多参加一科，且每项竞赛只允许一人参加，
易得这是一个排列问题，有A43=24种，
答：共有24种情况；
（3）若4人争夺这三科的冠军，每科冠军只有一人，则每科冠军有4种情况，
则三科共有4×4×4=64种结果；
答：4人争夺这三科的冠军，有64种情况．
若
正确答案
40
略
如图，电路中共有7个电阻与一个电灯A，若灯A不亮，分析因电阻断路的可能性共有多少种情况．
正确答案
每个电阻都有断路与通路两种情况，图中从上到下有3条支线，分别记为a、b、c，
支线a、b中，至少有一个电阻断路的情况有22-1=3种，c中至少有一个电阻断路的情况有23-1=7种，
因此，若灯A不亮，分析因电阻断路的可能性共有3×3×7=63种情况．
从6名短跑运动员中选4人参加4×100 m接力，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，问共有多少种参赛方法？
正确答案
法一：有i题意知本题是一个分类计数问题，
问题分成三类：（1）甲、乙两人均不参加，有A44种；
（2）甲、乙两人有且仅有一人参加，有2C43（A44-A33）种；
（3）甲、乙两人均参加，有C42（A44-2A33+A22）种．
故共有252种．
法二：六人中取四人参加的种数为A64，
除去甲、乙两人中至少有一人不排在恰当位置的有C21A53种，
因前后把甲、乙两人都不在恰当位置的种数A42减去了两次．
故共有A64-C21A53+A42=252种．
已知
正确答案
由
所以
故答案为：10．
10个相同的小球分给3个人，每人至少1个，有______种分法．
正确答案
根据题意，10个相同的小球分给3个人，每人至少1个，
就是将10个球分成3组，
可将10个球排成一列，进而在排除两端的空位的9个空位中，选取两个，插入隔板即可，
由组合公式，可得有C92=36种，
故答案为36．
将四个相同的红球和四个相同的黑球排成一排，然后从左至右依次给它们赋以编号l，2，…，8．则红球的编号之和小于黑球编号之和的排法有______种．
正确答案
由题意，全部的排列办法有：
下面计算相等的：黑色在（1，8），（2，7），（3，6），（4，5）四组中任选两组有C（4，2）=6种，另外，黑色可在（3，5，2，8），（1，4，6，7）中任选1组，共2种因此红黑相等的有两种，剩下的有：70-6-2=62种，
剩下的是编号和黑大于红或黑小于红，由于两者的对称性，
因此，红球的编号之和小于黑球编号之和的排法共有31种．
故答案为：31．
将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是______．
正确答案
5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4×
故答案为：96．
1，2，…，n共有n!种排列a1，a2，…，an（n≥2，n∈N*），其中满足“对所有k=1，2，…，n都有ak≥k-2”的不同排列有______种．
正确答案
就是现在所给出排列必须满足一个条件，就是要有ak≥k-2，比如a5≥3，所以现在a5并不能是n个数都可以了，必须要大于等于3，这样1，2这样的数字就不行．
具体做法可以先选an，它只能选n-2，n-1，n，只有3种可能；接着选an-1，它除了之前3个中选掉一个剩下的2个之外，还多一个n-3的选择．
所以依然只有3种可能，所以排列数应该是3×3×3…×3×2×1=2×3n-2．
故答案为2×3n-2．
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