- 计数原理
- 共11505题
某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，则不同的选派方案共有______种．
正确答案
某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），
其中甲和乙不同去，可以分情况讨论，
①甲去，则乙不去，有C63•A44=480种选法；
②甲不去，乙去，有C63•A44=480种选法；
③甲、乙都不去，有A64=360种选法；
根据分类计数原理知
共有480+480+360=1320种不同的选派方案．
故答案为：1320．
已知
正确答案
由于
则
即
整理得n2-3n-4=0
又由n∈N*，则n=4，则
已知
正确答案
根据组合数公式，
原方程可化为：
即1-
化简可得m2-23m+42=0，
解可得m=2或m=21（不符合组合数的定义，舍去）
则m=2；
∴C8m=C82=28；
故答案为28．
从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法种数共有______．（用数字作答）
正确答案
分3步来计算，
①从7人中，任取4人参加某个座谈会，分析可得，这是组合问题，共C74=35种情况；
②选出的4人都为男生时，有1种情况，因女生只有3人，故不会都是女生，
③根据排除法，可得符合题意的选法共35-1=34种；
故答案为34．
正确答案
略
从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中取出不同的5个数字组成一个5位偶数．
（1）有多少个这样的数？
（2）所有这些5位数的个位数字的和是多少？
正确答案
（1）要组成偶数，最后一位数字只能从0、2、4、6、8中取，
而数字0与其他的偶数不同，
∴当最后一位是0时有A94种结果，
当最后一位是2、4、6、8时，这个五位偶数的第一位数字可以从除0外的8个数字中选一个，
另外三位从余下的8位数中选一个，共有C41A81A83种结果，
∴共有A94+C41C81•A83；
（2）最后一位是0的和是0，
最后一位不是0的，是2、4、6、8对他们求和，2+4+6+8，
共有C81A83个，
∴所有这些5位数的个位数字的和是（2+4+6+8）C81•A83．
用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中五位数为偶数有______个（用数字作答）．
正确答案
若末位是0，则有
若末位是2或4，则先排末位，方法有
再根据分步计数原理，求得五位数为偶数有 2×3×6=36种．
综上，五位数为偶数有24+36=60个，
故答案为 60．
六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？
（1）甲、乙不相邻；
（2）甲、乙之间间隔两人；
（3）甲不站左端，乙不站右端．
正确答案
（1）因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的4个人站队，有
（2）先将甲、乙以外的4个人作全排列，有
（3）甲在左端的站法有
一个口袋里有4个不同的红球，6个不同的白球（球的大小均一样）
（1）从中任取3个球，恰好为同色球的不同取法有多少种？
（2）取得一个红球记为2分，一个白球记为1分．从口袋中取出五个球，使总分不小于7分的不同取法共有多少种？
正确答案
（1）由题意知本题可以采用分类加法，恰好为同色球包括同为白色的球，同为红色的球．
任取三球恰好为红球的取法为C43=4种
任取三球恰好为白球的取法为C63=20种
∴任取三球恰好为同色球的不同的C43+C63=24种
（2）设五个球中有x个红球，y的白球，从口袋中取出五个球，
使总分不小于7分的不同取法满足
∴
∴总分不小于7分的不同取法C42C63+C43C62+C44C61=120+60+6=186种．
有4个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内．
（1）共有多少种放法？
（2）恰有一个盒内不放球，有多少种放法？
（3）恰有一个盒内有2个球，有多少种放法？
（4）恰有两个盒内不放球，有多少种放法？
正确答案
（1）一个球一个球地放到盒子里去，每只球都有4种独立的放法，由分步乘法计数原理，放法共有：44=256（种）．…（3分）
（2）为保证“恰有一个盒内不放球”，先选一个盒子，有
（3）“恰有一个盒内有2个球”，即另外的三个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，即另外三个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有一个盒子放2球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事，共有
（4）先从四个盒子中任意拿走两个，有
第一类：可从4个球中先选3个，然后放入指定的一个盒子中即可，有
第二类：有
由分步计数原理得“恰有两个盒子不放球”的放法有
6个人坐在一排10个座位上，问
（1）空位不相邻的坐法有多少种？
（2）4个空位只有3个相邻的坐法有多少种？
（3）4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种？
正确答案
6个人排有A66种，6人排好后包括两端共有7个“间隔”可以插入空位．
（1）空位不相邻相当于将4个空位安插在上述个“间隔”中，有C74=35种插法，
故空位不相邻的坐法有A66C74=25200种．
（2）将相邻的3个空位当作一个元素，另一空位当作另一个元素，往7个“间隔”里插
有A72种插法，故4个空位中只有3个相邻的坐法有A66A72=30240种．
（3）4个空位至多有2个相邻的情况有三类：
①4个空位各不相邻有C74种坐法；
②4个空位2个相邻，另有2个不相邻有C71C62种坐法；
③4个空位分两组，每组都有2个相邻，有C72种坐法．
综合上述，应有A66（C74+C71C62+C72）=115920种坐法．
从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有______种．（用数字作答）
正确答案
从5位男教师和4位女教师共九人中选三个到3个班担任班主任共有A93种结果，
要求这3位班主任中男女教师都有，则选出的3人都是男教师或都是女教师的不合题意，
选的都是男教师有A53种结果，
选的都是女教师有A43种结果，
∴满足条件的方案有A93-（A53+A43）=420，
故答案为420．
设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，若经过5次跳动质点落在点（3，0）处（允许重复过此点），则质点不同的运动方法共有______种（用数字作答）；若经过m次跳动质点落在点（n，0）处（允许重复过此点），其中m≥n，且m-n为偶数，则质点不同的运动方法共有______种．
正确答案
（1）动质点在5次跳动中，只有一次向左，其余4此向右，
∴共有5种不同方法，故答案是5．
（2）若经过m次跳动质点落在点（n，0）处（允许重复过此点），
其中m≥n，且m-n为偶数，
则在m次跳动种，有
∴质点不同的运动方法共有
故第二问答案为
学校组织5名学生参加区级田赛运动会，规定每人在跳高、跳远、铅球3个项目中
任选一项，假设5名学生选择哪个项目是等可能的．
（Ⅰ）求3个项目都有人选择的概率；
（Ⅱ）求恰有2个项目有人选择的概率．
正确答案
5名学生选择3个项目可能出现的结果数为35，由于是任意选择，这些结果出现的可能性都相等．
（Ⅰ）3个项目都有人选择，可能出现的结果数为3C53C21C11+3C52C32C11；
记“3个项目都有人选择”为事件A1，那么事件A1的概率为P（A1）=
答：3个项目都有人选择的概率为
（Ⅱ）记“5人都选择同一个项目”和“恰有2个项目有人选择”分别为事件A2和A3，
则事件A2的概率为P（A2）=
事件A3的概率为P（A3）=1-P（A1）-P（A2）=1-
答：恰有2个项目有人选择的概率为
一个五位数由数字0，1，1，2，3构成，这样的五位数的个数为______．
正确答案
把两个1看成是不同的两个数，这样的五位数共有A41A44个，
故实际这样的五位数共有 
故答案为：48．
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