- 计数原理
- 共11505题
有5名男医生和3名女医生，现要从中选6名医生组成2个地震医疗小组，要求每个小组有2名男医生和1名女医生，那么有______种不同的组队方法．（用数字作答）
正确答案
由题意，从5男3女中先选2男1女，剩下3男2女中再选2男1女，但因为2个地震医疗小组并无区别，故无需排列，最后再除以
故答案为：90
12件产品，其中有5件一等品，4件二等品，3件三等品，从中取6件，使得
（1）至多两件一等品，共有几种取法？
（2）恰好包括两种等别的产品，有几种取法？（列式并计算）
正确答案
（1）由题意知本题是一个排列组合实际应用，
至多有2件一等品包括有两件一等品和有一件一等品和没有一等品，
共有C51C75+C52C74+C76=451种结果．
（2）恰好包括两种等别的产品包括三种情况，即包括二级和一级；包括二级和三级，包括一级和三级，
当包括一级和二级，共有C52C44+C53C43+C54C42+C55C41=84种结果，
当包含一级和三级时，共有C33C53+C32C54+C31C55=28种结果，
当包含二级和三级时共有C44C32+C43C33=7种结果，
由分类计数原理知共有84+28+7=119种结果，
答：至多两件一等品，共有451种取法
恰好包括两种等别的产品，有119种取法．
在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查．现在从98件正品和2件次品共100件产品中，任意抽出3件检查．
(1)共有多少种不同的抽法？
(2)恰好有一件是次品的抽法有多少种？
(3)至少有一件是次品的抽法有多少种？
(4)恰好有一件是次品，再把抽出的3件产品放在展台上，排成一排进行对比展览，共有多少种不同的排法？
正确答案
（1）161700 （2）9506 （3）9604 （4）57036
解：(1)所求不同的抽法数，即从100个不同元素中任取3个元素的组合数，共有C1003＝
(2)抽出的3件中恰好有一件是次品这件事，可以分两步完成：
第一步，从2件次品中任取1件，有C21种方法；
第二步，从98件正品中任取2件，有C982种方法．
根据分步计数原理，不同的抽取方法共有
C21·C982＝2×
(3)法一 抽出的3件中至少有一件是次品这件事，分为两类：
第一类：抽出的3件中有1件是次品的抽法，有C21C982种；
第二类：抽出的3件中有2件是次品的抽法，有C21C981种．
根据分类计数原理，不同的抽法共有
C21·C982＋C22·C981＝9506＋98＝9604(种)．
法二 从100件产品中任取3件的抽法，有C1003种，其中抽出的3件中没有次品的抽法，有C983种．所以抽出的3件中至少有一件是次品的抽法，共有C1003－C983＝9604(种)．
(4)完成题目中的事，可以分成两步：
第一步，选取产品，有C21C982种方法；
第二步，选出的3个产品排列，有A33种方法．
根据分步计数原理，不同的排列法共有
C21C982A33＝57036(种)．
要从12人中选出5人参加一项活动，其中A、B、C 3人至多2人入选，有多少种不同选法？
正确答案
756
解：法一 可分三类：
①A，B，C三人均不入选，有C95种选法；
②A，B，C三人中选一人，有C31·C94种选法；
③A，B，C三人中选二人，有C32·C93种选法．
由分类计数加法原理，共有选法C95＋C31·C94＋C32·C93＝756(种)．
法二 先从12人中任选5人，再减去A，B，C三人均入选的情况，即共有选法C125－C92＝756(种)．
已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}，C＝{8,9}．现在从这三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合 ，则一共可以组成集合的个数为________．
正确答案
26
由C41·C31＋C31·C21＋C41·C21＝26.
6名学生和1位老师站成一排照相，甲同学要求不排在左边，乙同学要求不排在右边，而且老师站中间，则不同的排法有_____种.
正确答案
504
略
用1，2，3，4，5，6这六个数字组成的四位数中，试回答下面问题
（1）一共有多少个没重复数字的四位数？
（2）若把（1）中这些没重复数字按从小到大的顺序排成一列，则3241是第几个数？
（3）（2）中的第100个数字是多少？
正确答案
（1）用1，2，3，4，5，6这六个数字组成没有重复数字的四位数，也就是从6个数字中取出4个数字的所有排列的个数，故有P64=360；…（2分）
（2）1，2开头的数字有2P53=120，31开头的数字有P42=12个，32开头的数字只有3214，3215，3216比3241小，
于是3241是第120+12+3+1=136个数．…（4分）
（3）由于1，2开头的数字有120个，1开头的数字有60个，于是第100个数字一定是2开头的数字．
21，23，24开头的数字各有P42=12个，总计36个，
于是2513是第60+36+1=97个数，第98、99个数依次是2514，2516．所以第100个数字是2531．…（4分）
任取集合{1，2，3，4，…，14}中的三个不同数a1，a2，a3，且满足a2-a1≥3，a3-a2≥2，则选取这样的三个数方法种数共有______．（用数字作答）
正确答案
按a1，a3的值分类去做，分类
第一类，a3-a1=5，a1，a3的值有9种情况则a2只有1种情况，共有9×1=9种情况
第二类，a3-a1=6，a1，a3的值有8种情况则a2有2种情况，共有8×2=16种情况
第三类，a3-a1=7，a1，a3的值有7种情况则a2有3种情况，共有7×3=21种情况
第四类，a3-a1=8，a1，a3的值有6种情况则a2有4种情况，共有6×4=24种情况
第五类，a3-a1=9，a1，a3的值有5种情况则a2有5种情况，共有5×5=25种情况
第六类，a3-a1=10，a1，a3的值有4种情况则a2有6种情况，共有4×6=24种情况
第七类，a3-a1=11，a1，a3的值有3种情况则a2有7种情况，共有3×7=21种情况
第八类，a3-a1=12，a1，a3的值有2种情况则a2有8种情况，共有2×8=16种情况
第九类，a3-a1=13，a1，a3的值有1种情况则a2有9种情况，共有1×9=9种情况
最后九类方法数相加，得9+16+21+24+25+24+21+16+9=165种
故答案为165
从5名女同学和4名男同学中选出4人参加四场不同的演讲，分别按下列要求，各有多少种不同选法？
（1）男、女同学各2名；
（2）男、女同学分别至少有1名；
（3）在（2）的前提下，男同学甲与女同学乙不能同时选出．
正确答案
（1）男、女同学各2名的选法有C42×C52=6×10=60种，故总的不同选法有60×A44=1440种；
即男女同学各两名的选法共有1440种．
（2）“男、女同学分别至少有1名”包括有“一男三女”，“二男二女”，“三男一女”，故选人种数为C41×C53+C42×C52+C43×C51=40+60+20=120
故总的安排方法有120×A44=2880
故不同的选法有2880种．
（3）可计算男同学甲与女同学乙同时选出的种数，由于已有两人，故再选两人即可，此两人可能是两男，一男一女，两女，故总的选法有C32+C41×C31+C42=21
故总的选法有2880-21×A44=2376
故不同的选法种数是2376种
由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3不相邻的六位偶数的个数是__________.
正确答案
216
试题分析：首先从2，4，6三个偶数中选择一个偶数充当六位偶数末位数字，总共有
其次排除末位以外的五位数，首先剩下的5个数字中除1，3的3个数字的全排列
将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的总数为 。
正确答案
8
略
4男3女坐一排．
（1）甲乙俩人必须相邻，有多少种排法？
（2）甲乙俩人不相邻，有多少种排法？
（3）甲乙两人必须相隔一人，有多少种排法？
（4）4男必须相邻，3女必须相邻，有多少种排法？
（5）甲在乙左边，有多少种排法？
正确答案
（1）由于甲乙俩人必须相邻，故可先捆绑，再考虑甲乙俩人的排列：A66•A22=1440
（2）先把除甲乙俩人的其余5人排列，再把甲乙俩人插入：A55•A62=3600
（3）先从其余5人中选一人插在甲乙两人中间，这三人组成一体，再全排，由于甲乙可互换，故有：A22•A51•A55=1200
（4）4男组成一体，3女组成一体，再考虑4男的顺序，3女的顺序：A44•A33•A22=288
（5）甲、乙的左右顺序只有两种，故
已知2Cm+13＜3Cm+12，求正整数m的值．
正确答案
由题设；2
得2(m-1)＜9即m＜
∴m的取值为2、3、4、5 （12分）
“渐升数”是指从左边第二位起每个数字都比前面的数字大的正整数，如125，23478等．
（1）问五位“渐升数”有多少个；
（2）首位为“1”（即1××××）的“渐升数”有多少个；
（3）前两位为“23”（即23×××）的“渐升数”有多少个；
（4）若把五位“渐升数”按从小到大的顺序排列，第100个数为多少？
（以上结果均用数字回答）．
正确答案
（1）C95=126，五位“渐升数”共126个．
（2）C84=70，首位是“1”的五位“渐升数”有70个．
（3）C63=20，前两位是“23”的五位“渐升数”有20个．
（4）∵前两位是“24”的五位“渐升数”（24×××）有C53=10个，∴若将五位渐升数从小到大排列，第100个数为24789．
4个同学坐一排看电影，且一排有6个座位．
（1）此4人中甲、乙中间恰有1人且无空位的坐法有多少？
（2）所有空位不相邻的坐法有多少？
正确答案
（1）甲、乙中间恰有1人，用“捆绑法”再与其余1人全排，最后在3个空中，插入2个座位，此时，空位可相邻或不相邻，故共有
（2）先将4个同学进行全排，再在5个空中，插入2个座位，空位不相邻，故共有
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