- 计数原理
- 共11505题
有n个球队参加单循环足球赛，其中2个队各比赛了三场就退出了比赛，这两队之间未进行比赛，这样到比赛结束共赛了34场，那么n=______．
正确答案
∵2个队各比赛了三场就退出了比赛，
∴其余的n-2个队进行34-2×3=28场比赛，
n-2个队进行按照单循环进行比赛，共有Cn-22，
∴Cn-22=28，
∴（n-2）（n-3）=28，
∴n2-5n-50=0
∴n=10，n=-5（舍去）
故答案为：10
甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有______种．（用数字作答）
正确答案
根据题意本题是一个分步计数问题，
甲、乙、丙3位同学选修课程，
从4门课程中，甲选修2门，有C42种结果，
乙、丙各选修3门，有C43C43种，
则不同的选修方案共有C42•C43C43=96种，
故答案为：96
从集合{x|1≤x≤11，且x∈N*}中选出5个元素构成该集合的一个子集，且此子集中任何两个元素的和不等于12，则这样的不同子集共有______个（用数字作答）．
正确答案
∵12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7，
11个元素中和为12的正好是5对，
∵此子集中任何两个元素的和不等于12，
∴取了1就不能取11，2不能取10，…等等，
即5对里每对只能取2个数中的1个，
∴选出5个元素构成该集合的一个子集，
且此子集中任何两个元素的和不等于12的不同取法有两种：
一是在五对中各取一个，不同的取法有：25=32种；
二是在五对中选取四对，从选取中的四对中各取一个，再取一个元素6，
不同的取法有：C51•24=80种．
故这样的不同子集共有：32+80=112个．
故答案为：112．
用0,1,2,3,4,5六个数字：
（1）能组成多少个没有重复数字的四位数；
（2）能组成多少个没有重复数字的四位偶数；
（3）能组成多少个能被5整除的没有重复数字的四位数；
（4）能组成多少个没有重复数字的比3210大的四位数。
正确答案
（1）
（2）个位是0：
（3）个位是0：
（4）共有148个。
本试题主要是考查了运用排列数公式和分步计数原理求解排数问题的运用。
（1）因为要注意首位不能为零，先确定首位的数字，然后其余的数字任意选择即可。并排列。
（2）因为是偶数，既要满足末尾是偶数，同时首位不能为零，特殊位置优先考虑。
（3）因为是能被5整除的没有重复数字的四位数，只要末尾是0或者5两种情况分类讨论可知。
（4）因为没有重复数字的比3210大的四位数，因此要考虑首位比3大的情况，然后就是首位相同，十位上数字比2大，依次类推分类讨论得到。
（1）
（2）个位是0：
（3）个位是0：
（4）共有148个。
直线x=a,y=x将圆面x2+y2≤4分成若干块，现用5种不同的颜色给这若干块涂色，且共边的颜色不同，每块涂一色，共有260种涂法，则a的取值范围是 .
正确答案
根据260，分析直线把圆分成了4部分，
将12名同学分配到三个不同的路口进行车流量的检查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有______种．
正确答案
第一个路口分4个人，有C124 种方法，第二个路口分4个人，有C84种方法，
第三个路口分4个人，有C44种方法．
故不同的分配方案共有C124C84C44 种方法．
故答案为：C124C84C44 ．
设n∈N*，n＞19，则n（n-1）…（n-19）用排列符号表示为______．
正确答案
n（n-1）…（n-19）是20个连续自然数的积，最大的自然数为n，最小的自然数为n-19，
由排列数公式可得n（n-1）…（n-19）=Pn20 ．
故答案为：Pn20．
（本题满分15分）
男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人，从中选5人外出比赛，
分别求出下列情形有多少种选派方法？（以数字作答）
（1）男3名，女2名；
（2）队长至少有1人参加；
（3）至少1名女运动员；
（4）既要有队长，又要有女运动员．
正确答案
（1）
（3）196种选法．（4）
第一问中，要确定所有的选法由题意知本题是一个分步计数问题，
首先选3名男运动员，有
再选2名女运动员，有
第二问中，（间接法）：“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”．
从10人中任选5人，有
第三问中，“只有男队长”的选法为
“只有女队长”的选法为
“男、女队长都入选”的选法为
第四问中当有女队长时，其他人选法任意，共有
不选女队长时，必选男队长，共有
其中不含女运动员的选法有
解：（1）由题意知本题是一个分步计数问题，
首先选3名男运动员，有
再选2名女运动员，有
共有
（3分）
（2）法一（直接法）：“至少1名女运动员”包括以下几种情况：
1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．
由分类加法计数原理可得有
法二（间接法）：“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”．
从10人中任选5人，有
所以“至少有1名女运动员”的选法有
（3）“只有男队长”的选法为
“只有女队长”的选法为
“男、女队长都入选”的选法为
∴共有2
∴“至少1名队长”的选法有C105-C85=196种选法． （4分）
（4）当有女队长时，其他人选法任意，共有
不选女队长时，必选男队长，共有
其中不含女运动员的选法有
∴不选女队长时共有
既有队长又有女运动员的选法共有
某班级在5人中选4人参加4×1
正确答案
24
略
甲，乙，丙三家公司承包6项工程，甲承包3项，乙承包2项，丙承包1项．不同的承包方案有______ 种．
正确答案
由题意，不同的承包方案分步完成，先甲甲承包3项，有
故答案为：60
由0，1，2，3，4组成的四位数中，含有数字0。且恰有2个数位上的数字 重复的四位数的个数是____________。（用数字作答）
正确答案
144
略
已知
正确答案
1
略
a，b，c，d，e共5个人，从中选1名组长1名副组长，不同的选法总数是______．
正确答案
先选正组长，有5种方法，再选副组长，有4种方法，根据分步计数原理，不同的选法共有5×4=20种，
故答案为 20．
现有7件互不相同的产品，其中有4件次品，3件正品，每次从中任取一件测试，直到4件次品全被测出为止，则第三件次品恰好在第4次被测出的所有检测方法有______种．
正确答案
第三件次品恰好在第4次被测出，说明第四次测出的是次品，而前三次有一次没有测出次品，最后一件次品可能在第五次被测出，第六次，或者第七次被测出，由此知最后一件次品被检测出可以分为三类，故所有的检测方法有 C31×C31×C41×C31×C21×（1+2×1+2×1×1）=1080
故答案为：1080．
（本题12分，）有6名同学站成一排，求：
（1）甲不站排头也不站排尾有多少种不同的排法：
（2）甲、乙、丙不相邻有多少种不同的排法．（均须先列式再用数字作答）
正确答案
（1）A41A55=480种；（2）A33A43=144种．
站队问题是排列组合中的典型问题，解题时要先排限制条件多的元素，把限制条件比较多的元素排列后，再排没有限制条件的元素，最后要用分步计数原理得到结果．
（1）甲不站排头也不站排尾，甲要站在除去排头和排尾的四个位置，余下的五个位置使五个元素全排列，根据分步计数原理得到结果．
（2）甲、乙、丙不相邻，可以采用甲，乙和丙插空法，首先排列除去甲，乙和丙之外的三个人，有A33种结果，再在三个元素形成的四个空中排列3个元素，共有A43，根据分步计数原理得到结果．
解：
（1）∵甲不站排头也不站排尾，∴甲要站在除去排头和排尾的四个位置，余下的五个位置使五个元素全排列，根据分步计数原理知共有A41A55=480种；
（2）∵甲、乙、丙不相邻，∴可以采用甲，乙和丙插空法，首先排列除去甲，乙和丙之外的三个人，有A33种结果，再在三个元素形成的四个空中排列3个元素，共有A43，根据分步计数原理知共有A33A43=144种．
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