- 计数原理
- 共11505题
用0,1,3,5,7五个数字，可以组成多少个没有重复数字且5不在十位上的五位数？
正确答案
78个
本题可分为两类：
第一类：0在十位位置上，这时，5不在十位位置上，所以五位数的个数为
第二类：0不在十位位置上，这时，由于5不能排在十位位置上，所以，十位位置上只能排1,3,7之一，有
又由于0不能排在万位位置上，所以万位位置上只能排5或1,3,7被选作十位上的数字后余下的两个数字之一，有
根据分步计数原理，第二类中所求五位数的个数为
由分类加法计数原理，符合条件的五位数共有24＋54＝78个．
在小语种提前招生考试中，某学校获得5个推荐名额，其中俄语2个，日语2个，西班牙语1个，日语和俄语都要求有男生参加．学校通过选拔定下3男2女共5名推荐对象，则不同的推荐方法共有________．
正确答案
24
每个语种各推荐1名男生，共有
有
正确答案
试题分析：由题意中，这三所学校所分配的的人数分别为
已知
（1）
（2）
（3）
正确答案
（1）1093
（2）
（3）
试题分析：解：令
令
（①--②）
（①＋②）
点评：主要是考查了二项式定理的运用，属于基础题。
一个五位的自然数
正确答案
解：因为：由题意知本题是一个分类计数问题，
数字中c的值最小是3，最大是9，
因此需要把c的值进行讨论，
当c=3时，前面两位数字可以从1，2中选只有一种结果，后面两位需要从0，1，2中选两个，共有1×
当c=4时，前面两位数字可以从1，2，3中选，后面两位需要从0，1，2，3中选两个，共有
以此类推当c=9时，有
根据分类计数原理知共有在所有的五位数中，比40000大的“凸”数的个数是
正确答案
36
略
将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第i个数为ai（i=1，2，…，6），若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1＜a3＜a5，则不同的排列方法有 ______种（用数字作答）．
正确答案
由题意知本题是一个分步计数问题
分两步：（1）先排a1，a3，a5，
当a1=2，有2种；a1=3有2种；a1=4有1种，共有5种；
（2）再排a2，a4，a6，共有A33=6种，
∴不同的排列方法种数为5×6=30，
故答案为：30
（12分）3名教师与4名学生排成一横排照相，求:
（1）3名教师必须排在一起的不同排法有多少种？
（2）3名教师必须在中间（在3、4、5位置上）的不同排法有多少种？
（3）3名教师不能相邻的不同排法有多少种？
正确答案
（1）
试题分析：（1）捆绑法，将3名教师作为一整体与4名学生全排列有
解：（1）3名教师的排法有
（2）3名教师的排法有
（3）
某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，又工程丁必须在工程丙完成后立即进行．求安排这6项工程的不同排法种数．
正确答案
20种
方法一：设6项工程自左至右占据1～6的6个不同位置．由于工程丙、丁必须相邻且工程丁在工程丙之后，工程丙、丁都在工程甲、乙之后，因此工程丙、丁的位置有以下3类：第一类：工程丙、丁占据3,4位置，则1,2位置分别由工程甲、乙占据，剩余5,6两个位置可由剩余的2项工程占据，共有
由分类加法计数原理，共有2＋6＋12＝20种不同排法．
方法二：由题意，由于丁必须在丙完成后立即进行，故可把丙、丁视为一个大元素，先不管其他限制条件使其与其他四个元素排列共有
20个不加区别的小球放入1号，2号，3号的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数为________．
正确答案
120
先在编号为2,3的盒内分别放入1个，2个球，还剩17个小球，三个盒内每个至少再放入1个，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中即可，共有
对于正整数n和m（m＜n）定义nm!=（n-m）（n-2m）（n-3m）…（n-km）其中k是满足n＞km的最大整数，则
正确答案
由题意nm!=（n-m）（n-2m）（n-3m）…（n-km）
∴184!=（18-4）（18-2×4）（18-3×4）（18-4×4）=14×10×6×2，
204!=（20-6）（20-2×6）（20-3×6）=14×8×2，
∴
故答案为
某公司计划在北京、上海、合肥、天柱山四个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该公司不同的投资方案种数是______．（用数字作答）
正确答案
根据题意，要在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，
则分两种情况讨论：①在其中两个城市分别投资1个项目、2个项目，
从4个城市中选出2个，有A42种情况，将3个不同的项目分为2、1的两组，有C31•C22种情况，
此时有C31•C22•A42=36种方案，
②在三个城市各投资1个项目，从4个城市中任取3个即可，则这种情况有A43=24种方案，
共计有60种方案，
故答案为60．
已知二项式
正确答案
略
设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，若经过5次跳动质点落在点（3,0）处（允许重复过此点），则质点不同的运动方法共有___________种（用数字作答）；若经过20次跳动质点落在点（16,0）处（允许重复过此点），则质点不同的运动方法共有___________种（用数字作答）.
正确答案
5,190
质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，5次跳动质点落在点（3，0）处（允许重复过此点），向前和向后的次数的差为3；20次跳动质点落在点（16，0）处，其差为16．
解：记向左跳一次为-1，向右跳一次为+1，则只要5次和为+3，质点一定落在（3，0），
所以只需4个“+1”，1个“-1”即可，从5次中挑出一次取“-1”，结果数为C=5，故质点运动方法共有5种．
经过20次跳动质点落在点（16，0）处，只需18个“+1”，2个“-1”即可，从20次中挑出2次取“-1”，结果数C202=190种
故答案为：5、190
某单位邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有 ______种．
正确答案
∵10位教师中的6人参加一个研讨会，
其中甲、乙两位教师不能同时参加，需要分类来解，
∴当甲和乙有一个参加，则只要从8人中选5个，共有2C85=112种结果，
当甲和乙都不参加，要从8人中选6人，共有C86=28种结果，
根据分类计数原理知共有112+28=140，
故答案为：140
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