- 计数原理
- 共11505题
2009年东亚运动会上，中国乒乓球男队派出王皓及5名年轻队员参加比赛，团体比赛需要3名队员上场，如果最后一个出场比赛的不是王皓，则不同的出场方式有______种（用数字作答）
正确答案
根据题意，团体比赛需要3名队员上场，即从6人中，任取3人参加比赛，则有A63=120种情况，
若王皓最后一个出场比赛，即从其他5人中，任取2人参加第一二场比赛，有A52=20种情况，
则不同的出场方式有120-20=100种；
故答案为100．
6个人坐在一排10个座位上，则（用数字表示）.
(1)空位不相邻的坐法有多少种？
(2)４个空位只有３个相邻的坐法有多少种？
(3)４个空位至多有２个相邻的坐法有多少种？
正确答案
（1）25200；（2）30240；（3）115920.
试题分析：（1）根据空位不相邻，6人先坐在6个座位上并排好顺序，后将4个空位采用插空法插入即可达到要求；（2）6人先坐在6个座位上并排好顺序，先将3个空位捆绑当作一个空位，再将生产的“两个”空位采用插空法插入即可；（3）法一：采用间接法，将所有可能的坐法
（1）第一步：6人先坐在6个座位上并排好顺序有
（2）第一步：6人先坐在6个座位上并排好顺序有
（3）法一：采用间接法，所有可能的坐法有
法二：直接法，分成三类：
第一类是空位都不相邻的坐法有
第二类是4个空位中只有两个空位相邻的，另两个不相邻的坐法有：
第三类是4个空位中，两个空位相邻，另两个空位也相邻的坐法有：
所以４个空位至多有２个相邻的坐法有
（本题满分10分）
已知
（1）若
（2）证明：
正确答案
（1）
本试题主要是考查了二项式定理和组合数性质的综合运用。
（1）由已知得
（3）由（1）知
采用整体的思想来分析作差法得到组合数的等式的证明。
1）由已知得
（2）由（1）知
又
所以
所以
因为此系数为
所以
设
正确答案
∵
同理，
因此，
略
任取集合{1，2，3，4，…，10}中的三个不同数a1，a2，a3，且满足a2-a1≥2，a3-a2≥3，则选取这样的三个数方法种数共有______．（用数字作答）
正确答案
第一类，a3-a1=5，a1，a3的值有5种情况则a2只有1种情况，共有5×1=5种情况，
第二类，a3-a1=6，a1，a3的值有4种情况则a2有2种情况，共有4×2=8种情况，
第三类，a3-a1=7，a1，a3的值有3种情况则a2有3种情况，共有3×3=9种情况，
第四类，a3-a1=8，a1，a3的值有2种情况则a2有4种情况，共有2×4=8种情况，
第五类，a3-a1=9，a1，a3的值有1种情况则a2有5种情况，共有1×5=5种情况，
则选取这样的三个数方法种数共有5+8+9+8+5=35，
故答案为35．
若从4台A型电视机和5台B型电视机中任选3台，要求A，B两种型号的电视机都要选，则不同的选法有______种（用数字作答）．
正确答案
由题意知本题是一个分类计数问题，
要求A，B两种型号的电视机都要选，
∴包括两种情况一是一个A两个B，一是二个A一个B，
∴共有C41C52+C42C51=70，
故答案为：70．
从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有______．
正确答案
根据题意，首先从5人中抽出两人在星期五参加活动，有C52种情况，
再从剩下的3人中，抽取两人安排在星期六、星期日参加活动，有A32种情况，
则由分步计数原理，可得不同的选派方法共有C52A32=60种，
故答案为：60．
．［必做题］（本小题满分10分）
已知
(1)求
(2)求证：当
正确答案
∴
(2)要证
当
假设当
两边同乘以3 得：
而
∴
∴当
综上原不等式获证. …………………………………………………………………………………10分
略
某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求最后播放的不能是商业广告且两个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式有 种（用数字作答）．
正确答案
36
分析：由题意知本题是一个分步计数问题，根据所给的条件要求最后播放的必须是公益广告，且两个公益广告不能连续播放，先安排最后一个播放公益广告用两种选法，再在前三个位置选一个放另一个公益广告，余下的三个广告在三个位置全排列．
解：由题意知本题是一个分步计数问题，
根据所给的条件要求最后播放的必须是公益广告，
且两个公益广告不能连续播放，
分三步得到结果C12C13?A33=36．
故答案为：36
“渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的正整数（如34689）．则五位“渐升数”共有______个，若把这些数按从小到大的顺序排列，则第100个数为______．
正确答案
根据题意，“渐升数”中不能有0，
则在其他9个数字中任取5个，每种取法对应一个“渐升数”，
则共有“渐升数”C95=126个，
对于这些“渐升数”，1在首位的有C84=70个，2在首位的有C74=35个，
对于2在首位的“渐升数”中，第二位是3的有C63=20个，第二位是4的有C53=10个，
则第100个“渐升数”是首位是2、第二位是4的“渐升数”中最大的一个，即24789；
故答案为126，24789．
某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有______种．（用数字作答）
正确答案
分以下2种情况：（1）A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C31C42种不同的选法；
（2）A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C32C41种不同的选法．
所以不同的选法共有C31C42+C32C41=18+12=30种．
故答案为：30
若某学校要从5名男教师和3名女教师中选出3人作为上海世博会的首批参观学习者，则选出的参观学习者中男女教师均不少于1名共有______选法．
正确答案
法一（直接法）
三位教师中有两位男教师一位女教师的选法有C52×C31=30种
三位教师中有一位男教师二位女教师的选法有C51×C32=15种
故选出的参观学习者中男女教师均不少于1名共有30+15=45种不同的选法
故答案为45
法二（间接法）：从8名教师中选3人参加上海世博会的选法共有C83=56种
三名教师全是男教师的选法有C53=10种，全是女教师的选法有C33=1种
故选出的参观学习者中男女教师均不少于1名的选法种数是56-10-1=45种
故答案为45
在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是______．
正确答案
在p00件产品中有6件次品从中任取3件产品，
共有Cp003种结果，
至少有p件次品7对立事件是没有次品，
没有次品7事件是从94件正品中愁3件有C943，
∴至少有p件次品7不同取法有Cp003-C943，
故答案为：Cp003-C943
若
正确答案
∵
∴
∴
解得n=7，m=2
故答案为：7，2
某外商计划在5个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有________．
正确答案
120
分两类：第一类，每个城市只能投资一个项目，共有A53种方案；第二类，有一个城市投资2个项目，共有C32·A51·A41种方案．由分类加法计数原理得共有A53＋C32A51A41＝120(种)方案．
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