- 计数原理
- 共11505题
我们常用构造等式对同一个量算两次的方法来证明组合恒等式，如由等式
而右边
由
利用上述方法，化简
正确答案
试题分析：构造等式（x-1）2n•（x+1）2n=（x2-1）2n，由左式可得x2n的系数为C2n2n•（-1）2nC2n0+C2n2n-1•（-1）2n-1C2n1+C2n2n-2•（-1）2n-2C2n2+…+C2n0•（-1）0C2n2n，即（C2n0）2-（C2n1）2+（C2n2）2-（C2n3）2+…+（C2n2n）2，由右式可得得x2n的系数为（-1）nC2nn，故有（C2n0）2-（C2n1）2+（C2n2）2-（C2n3）2+…+（C2n2n）2=（-1）nC2nn，
点评：对于此类组合数的应用问题，常常涉及二项式定理的应用，关键要根据题意，充分利用组合数的性质．
某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有 种。（用数字作答）
正确答案
240
解：因为5=1+1+1+2，因此就是分组分配问题，那么先分组共有
用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字3，4不相邻的数有 _______个（用数字作答）
正确答案
60
0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，最高位有4种，剩余4空有
现有6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少1本，全分完，共有 种不同的分法（用数字表示结果）
正确答案
540
解：因为6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少1本，分法有两种，1+1+4，和1+2+3,那么分别利用分组分配法可知为
（1）把4个不相同的球放入七个不相同的盒子，每个盒子至多有一个球的不同放法有多少种？
（2）把7个相同的球放入四个不相同的盒子，每个盒子至少有一个球的不同放法有多少种？
（3）把7个不相同的球放入四个不相同的盒子，每个盒子至少有一个球的不同放法有多少种？
正确答案
解：（1）840
（2）有
（3）N=
略
已知
（1）求展开式中所有的
（2）求展开式中系数最大的项.
正确答案
解： 
略
二项式
正确答案
1
试题分析：由于展开式中各项为系数与变量
点评：简单题，涉及二项式系数问题，“赋值法”是常用方法。
若4名学生和3名教师站在一排照相，则其中恰好有2名教师相邻的站法有_______种.（用数字作答）
正确答案
2880；
解：因为从3名教师选两名，捆绑起来，然后作为一个整体与其余的进行全排列可知为
如图：用四种不同颜色给图中的ABCDEF六个点涂色（四种颜色都要用到），要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有 种.（用数字作答）
正确答案
解：由题意用四种不同颜色给图中的ABCDEF六个点涂色（四种颜色都要用到），要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，首先涂D,E,F三个点，共有
然后考虑第四种颜色涂的位置即可。那么D,B颜色同，或者D,C颜色同，分为两种情况来解，一共有9种，利用分步乘法计数原理得到为
（1）把4个不相同的球放入七个不相同的盒子，每个盒子至多有一个球的不同放法有多少种？
（2）把7个相同的球放入四个不相同的盒子，每个盒子至少有一个球的不同放法有多少种？
（3）把7个不相同的球放入四个不相同的盒子，每个盒子至少有一个球的不同放法有多少种？
正确答案
解：（1）840
（2）有
（3）N=
略
设an＝1＋q＋q2＋…＋qn－1，An＝Ca1＋Ca2＋…＋Can.
(1)用q和n表示An；
(2)又设b1＋b2＋…＋bn＝.求证：数列是等比数列．
正确答案
(1)∵q≠1，∴an＝.
∴An＝C＋C＋…＋C
＝[(C＋C＋…＋C)－(Cq＋Cq2＋…＋Cqn)]
＝[2n－(1＋q)n]．
(2)证明：∵b1＋b2＋…＋bn
＝＝，
∴b1＋b2＋…＋bn－1＝
两式相减得：bn＝n－1
∴＝≠0，
∴是等比数列．
略
3100被7除的余数为________
正确答案
4
略
10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，不同分配方案有 种
正确答案
84
分析：10个人站成一排，每班至少要1名，就有9个空然后插入6个板子把他们隔开，从九个里选6个即可答案．
解：10个人站成一排，每班至少要1名，就有9个空然后插入6个板子把他们隔开，从九个里选6个，就是C96=84，
故答案为：84．
在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有 个.
正确答案
192
分析：根据题意，用排除法，首先计算所有符合条件的4位数的数目，再计算其中可以被5整除的，即末位数字是0或5的四位数的数目，进而相减可得答案．
解：根据题意，用排除法，不能被5整除实质上是末位数字不是0或5，
则可以在全部符合条件的四位数中排除末位数字是0或5的即可；
所有4位数有A51?A53=300个，
末位为0时有A53=60个，末位为5时有A41?A42=4×12=48个，
则不能被5整除的数共有有300-60-48=192个；
在二项式
正确答案
略
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