- 计数原理
- 共11505题
已知(
3x
-
1
2
3x
)2n展开式中偶数项二项式系数的和比（1+x）n展开式的各项系数和大112．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）在（1）的条件下，求（1-x）2n展开式中系数最大的项；
（Ⅲ）在（1）的条件下，求(
3x
-
1
2
3x
)2n展开式中的所有的有理项．
正确答案
（1）由题意可得 22n-1=2n=112，22n-2•2n-224=0，解得 n=4．…..（4分）
（2）由n=4，（1-x）2n =（1-x）8，从而，（1-x）8展开式中系数最大的项是：T5=
（Ⅲ）设有理项为第r+1项，则 Tr+1=
1
2
)r•xr3=(-
1
2
)r•
令
所以第2项，第5项，第8项为有理数，它们分别是 T2=-
1
2
)4•
T8=(-
1
2
)7•
在(2x2+
正确答案
设通项公式为
1
x
)r，整理得26-rC6rx12-3r，
因为是常数项，所以12-3r=0，所以r=4，
故常数项是4C64=4×15=60
故答案为：60．
已知（
正确答案
(
2
x2
-
x
p
)6的展开式的通项为Tr+1=
2
x2
)6-r(-
x
p
)r=(-
1
p
)r26-r
令3r-12=0得r=4
故不含x的项为(-
1
p
)422
∴(-
1
p
)422
故答案为3
求（x2+x-1）7（2x+1）4展开式按x的升幂排列时奇数项的系数和．
正确答案
设f（x）=（x2+x-1）7（2x+1）4=a0+a1x+a2x2++a18x18，
则a0+a1+a2+…+a18=f（1）=34=81，
a0-a1+a2--a17+a18=f（-1）=-1．
∴a0+a2+a4++a18=
故展开式中奇数项的系数和为40．
杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、数学教育家、杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律．如图是一个11阶杨辉三角：
（1）求第20行中从左到右的第4个数；
（2）若第n行中从左到右第14与第15个数的比为
（3）求n阶（包括0阶）杨辉三角的所有数的和；
（4）在第3斜列中，前5个数依次为1，3，6，10，15；第4斜列中，第5个数为35．显然，1+3+6+10+15=35．事实上，一般地有这样的结论：第m斜列中（从右上到左下）前k个数之和，一定等于第m+1斜列中第k个数．试用含有m、k（m，k∈N×）的数学公式表示上述结论，并给予证明．
正确答案
（1）C203=1140
（2）由
（3）1+2+22+…+2n=2n+1-1
（4）Cm-1m-1+Cmm-1+…+Cm+k-2m-1=Cm+k-1m
证明：左式=Cm-1m-1+Cmm-1+…+Cm+k-2m-1
=Cmm+Cmm-1+…+Cm+k-2m-1
Cm+1m+Cm+1m-1+…+Cm+k-2m-1
=…=Cm+k-2m+Cm+k-2m-1=右式
(3x-
正确答案
展开式中第9项是T9 =
2
x
)8=3 n-8（-2）8Cn8xn-12．
令n-12=0，得n=12
故答案为：12．
已知(
（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项．
正确答案
由题意可得，(
在（3x-2）n中，令x=1可得展开式的系数和为1
∴22n-1=1023
∴n=5，(2x-
1
x
)r=(-1)r210-r
（1）当n=5时2n=10，(2x-
（2）要求(2x-
1
x
)10展开式中系数最大的值
由 
∴
∴r=3
T4=
1
x
)3=-27
已知（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，且a0+a1+a2+…+an=126，那么(3
正确答案
因为（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，
令x=1得：2+22+23+…+2n=a0+a1+a2+…+an，
∵a0+a1+a2+…+an=126，
∴2+22+23+…+2n=
即2n+1=128=27．
解得n=6．
所以(3
x
)6-r•(-
1
x
)r=（-1）r36-r•C6r•x6-2r2．
令
所以(3
故答案为：-540．
二项式(
（1）n；
（2）展开式中的所有的有理项．
正确答案
（1）展开式的通项为Tr+1=(-
1
2
)r
据题意有Cn4=4Cn2
解得n=6
（2）展开式的通项为Tr+1=(-
1
2
)r
1
2
)r
当r是3的倍数时，为有理项
所以r=0，3，6
T1=x-2，T4=-
若（1+2x）2（1-x）5=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，则a0+a2+a4+a6=______．
正确答案
令x=-1，得（1-2）2（1+1）5=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=32，
令x=1，得（1+2）2（1-1）5=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=0
两式相加得：a0+a2+a4+a6=16
故答案是16．
在（1-x2）10的展开中，x4的系数为 ______．
正确答案
（1-x2）10展开式即是10个（1-x2）相乘，
要得到x4，则取2个1-x2中的（-x2）相乘，其余选1，
则系数为C102×（-x2）2=45x4，故系数为45．
故答案为45．
在(1+
x
)4的展开式中，x的系数为 ______
正确答案
根据题意，(1+
x
)4的展开式为Tr+1=C4r（
当r=2时，有T3=C42（
故答案为：6．
已知(x-
（1）求a的值；
（2）求展开式各项系数的和．
正确答案
（1）二项展开式的通项为：Tr+1=
设8-2r=0则r=4．
故常数项为C84（-a）4=1120
解得a=±2
（2）当a=2时，令x=1可得展开式系数和为1
当a=-2时，令x=1展开式系数和为38．
若（x+1）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn（x∈N*）且a1+a2=21，则在展开式的各项系数中，最大值等于______．
正确答案
由题意可知a1=Cn1，a2=Cn2，所以Cn1+Cn2=21，
即n+
即（n-6）（n+7）=0，解得n=6，（n=-7舍去）．
故展开式各项系数中最大值为C63=20．
故答案为：20．
已知在（
（1）求n；
（2）求含x2项的系数；
（3）求展开式中所有的有理项．
正确答案
（1）根据题意，可得（
又由第6项为常数项，则当r=5时，
即
（2）由（1）可得，Tr+1=（-
令
所以含x2项的系数为(-
（3）由（1）可得，Tr+1=（-
若Tr+1为有理项，则有
分析可得当r=2，5，8时，
则展开式中的有理项分别为
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