- 计数原理
- 共11505题
若（x2+
正确答案
通项Tr+1=C6r•a-rx12-3r，
当12-3r=3时，r=3，
所以系数为C63•a-3=
故答案为2
(ax-
正确答案
(ax-
1
x
)r=（-1）r a 10-r C104 x10-3r2，
令10-
∴展开式中x4项的系数（-1）4 a6C104=210a6=210，
∴a=±1，
故答案为：±1．
在（2+x）5的展开式中，x2的系数为______．
正确答案
二项展开式的通项为Tr+1=25-rC5rxr
令r=2得x2的系数为23C52=80
故答案为：80．
若（n+a）n展开式中a的系数是256，则n=______．
正确答案
设（n+a）n展开式的通项为Tr+1，则Tr+1=
令r=1，则（n+a）n展开式中a的系数是
∴n=4．
故答案为：4．
在(2x+
正确答案
由题意可得，
整理可得，n2-3n-54=0
解可得，n=9
(2x+
令9-3r=0可得r=3，则常数项为T4=
令x=1可得各项系数的和为39
（x-y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于 ______．
正确答案
因为（x-y）10的展开式中含x7y3的项为C103x10-3y3（-1）3=-C103x7y3，
含x3y7的项为C107x10-7y7（-1）7=-C107x3y7．
由C103=C107=120知，x7y3与x3y7的系数之和为-240．
故答案为-240．
（1+x）6的各二项式系数的最大值是______．
正确答案
根据二项展开式的性质可得，（1+x）6的各二项式系数的最大值
故答案为：20
对于二项式（1-x）10．求：
（1）展开式的中间项是第几项？写出这一项；
（2）求展开式中除常数项外，其余各项的系数和；
（3）写出展开式中系数最大的项．
正确答案
（1）由题意可知：r=0，1，2…11，展开式共11项，
所以 中间项为第6项：T6=C105（-x）5=-252x5…（4分）
（2）设（1-x）10=a0+a1x+…a10x10令x=1得：a0+a1+…a10=0；
令x=0得：a0=1；
所求的其余各项的系数和a1+…a10=-1，
（3）展开式中中间项T6的系数为负，
∴展开式中系数最大的项T5和T7，
T5=C104x4=210x4=T7．
若(x+
正确答案
(x+
1
x
)n展开式的二项式系数和为2n
∴2n=64解得n=6
∴(x+
1
x
)n=(x+
1
x
)6展开式的通项为Tr+1=C6rx6-2r
令6-2r=0得r=3
故展开式的常数项为C63=20
故答案为20
（1-2x）10展开式中x3的系数为______（用数字作答）．
正确答案
根据题意，可得其二项展开式的通项为Tr+1=Cnr•（-2x）r，
（1-2x）10展开式中的x3项为C103•（-2x）3=-960x3，
x3的系数为-960．
若(
（1）展开式中含x的一次幂的项；
（2）展开式中所有x的有理项．
正确答案
（1）∵(
x
+
1
2
4x
)n展开式的通项Tr+1=(
1
2
)r
∴前三项的系数分别为
n=1+
含x的一次项为：T5=
（2）所有的有理项为：x4 ， 
（1）(2x+
1
3x
)8的展开式中的常数项是______，（2x-1）6展开式中x2的系数为______（用数字作答）；
（2）（x+
（3）如果（1-2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，那么a1+a2+a3+…+a7=______，已知（1+kx2）6（k是正整数）的展开式中，x8的系数小于120，则k=______．
正确答案
（1））(2x+
1
3x
)8的展开式中的通项是
1
3x
)r=
∴8-
∴常数项是112
（2x-1）6的通项是（-1）rC6r26-rx6-r，
当6-r=2，
∴r=4，
∴系数是60，
（2））（x+
系数最大的项是r=5
∴系数最大的项是126x-6，
x2（1-2x）6的通项是C6r（-2）rxr+2，
∴x5的系数为r=3时，系数是-160
（3）∵（1-2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，
当x=1时，a1+a2+a3+…+a7=-1-a0
当x=0时，a0=1．
∴a1+a2+a3+…+a7=-2，
（1+kx2）6的通项是C6rkrxr+2
x8的系数小于120，
∴C64K4＜120，
∵k是正整数
∴k=1，
故答案为：（1）112；60
（2）126x-6；-160
（3）-2；1
在二项式(
（1）求展开式的第四项；
（2）求展开式的常数项；
（3）求展开式中各项的系数和；
（4）求展开式的有理项．
正确答案
因为第一、二、三项系数的绝对值分别为Cn0，
∴
∴n2-9n+8=0
解得n=8．
（1）第四项 T4=
3x
)5 (-
1
2
3x
)3=-7 x23
（2）通项公式为 Tr+1=
1
2
)rx8-2r3，
令 
所以展开式中的常数项为 T5=
1
2
)4=
（3）令二项式中的x=1，则有展开式中各项的系数和为(1-
1
2
)8=(
（4）通项公式为 Tr+1=
1
2
)rx8-2r3，考察x的指数知，r=1，4，7时，x的指数为整数，即：
T2=-4x2，T5=
已知在（
（1）求n；
（2）求含x2的项的系数；
（3）求展开式中所有的有理项．
正确答案
（1）通项公式为
Tr+1=Cnrx
∵第6项为常数项，
∴r=5时，有
∴n=10．
（2）令
得r=
∴所求的系数为C102（-3）2=405．
（3）根据通项公式，由题意，得
令
∵r∈N，∴k应为偶数．故k可取-2，0，2，即r可取2，5，8，
所以第3项、第6项、第9项为有理项，它们分别为：C102（-3）2x2、C105（-3）5、C108（-3）8x-2．
已知(ax+
正确答案
(ax+
当r=3时，常数项为a3C63=-160解得a=-2
故答案为-2．
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