- 计数原理
- 共11505题
已知在（
（1）求n的值；
（2）求含x2项的项．
正确答案
（1）∵二项展开式的通项Tr+1=
3x
)n-r(-
3
3x
)r=(-3)r
∵第6项T6=(-3)5
∴n=10（6分）
（2）由（1）得，Tr+1=
3x
)n-r(-
3
3x
)r=(-3)r
令
∴含x2项的系数为（-3）2C102=405（12分）
已知f（x）=（1+2x）m+（1+4x）n（m，n∈N*）的展开式中含x项的系数为36，求展开式中含x2项的系数最小值，及m，n值．
正确答案
∵f（x）=（1+2x）m+（1+4x）n展开式中含x的项为
∵f（x）=（1+2x）m+（1+4x）n（m，n∈N*）的展开式中含x项的系数为36，
∴m+2n=18，
∴f（x）=（1+2x）m+（1+4x）n展开式中含x2的项的系数为t=
∵m+2n=18，
∴m=18-2n，
∴t=2（18-2n）2-2（18-2n）+8n2-8n=16n2-148n+612
=16（n2-
∴当n=
∴n=5时t最小，即x2项的系数最小，最小值为272，此时n=5，m=8．
已知二项式(5x-
（1）求n；
（2）求展开式中含x项的系数；
（3）求展开式中所有x的有理项．
正确答案
（1）由已知得：4n-2n=240，2n=16，n=4…（3分）
（2）通项Tr+1=
令4-
所以含x项的系数：C4252（-1）2=150…（8分）
（3）由（2）得：4-
所以展开式中所有x的有理项为：T1=625x4，T3=150x，T5=x-2…（13分）
（1+2x2）（x-
正确答案
先求(x-
1
x
)8的展开式中常数项以及含x-2的项；
Tr+1=
1
x
)r=
由8-2r=0得r=4，由8-2r=-2得r=5；
即(x-
1
x
)8的展开式中常数项为C84，
含x-2的项为C85（-1）5x-2
∴(1+2x2)(x-
1
x
)8的展开式中常数项为C84-2C85=-42
故答案为-42
若(2x+
正确答案
∵(2x+
3
)4=a0+a1x+…+a4x4，
当x=-1时，（-2+
当x=1时，（2+
而（a0+a2+a4）2-（a1+a3）2=（a0+a1+a2+a3+a4）（a0-a1+a2-a3+a4）
=（2+
∴（a0+a2+a4）2-（a1+a3）2=1，
故答案为1．
二项式(2
正确答案
由题意可得：(2
x
-
1
x
)6的展开式的通项为 Tr+1=
x
)6-r(-
1
x
)r=（-1）r26-rC6rx3-r
令3-r=2得r=1
故展开式中x2项的系数是T2=-25C61=-192．
故答案为：-192．
在二项式（axm+bxn）12（a＞0，b＞0，m、n≠0）中有2m+n=0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项．
（1）求它是第几项；
（2）求
正确答案
（1）设Tr+1=C12r（axm）12-r•（bxn）r=C12ra12-rbrxm（12-r）+nr为常数项，
则有m（12-r）+nr=0，即m（12-r）-2mr=0，∴r=4，它是第5项．
（2）∵第5项又是系数最大的项，
∴有
由①得a8b4≥
∵a＞0，b＞0，∴
由②得
∴
在(x4+
正确答案
Tr+1=
即40-5r=0，
可得r=8代入通项公式可得Tr+1=C108=C102=45
故答案为：45．
已知(
正确答案
∵(
∴
∴展开式的各项的系数和为(1-
1
23
)6=
故答案为
在（1+2x）5的展开式中，x2的系数等于______．（用数字作答）
正确答案
由于（1+2x）5的展开式的通项公式为 Tr+1=
故答案为 40．
(x-
正确答案
由于 (x-
令6-2r=0，解得 r=3，故(x-
故答案为-
从装有n+1个球（其中n个白球，1个黑球）的口袋中取出m个球
正确答案
在（1+x+
正确答案
36
（x2-
正确答案
(x2-
1
2x
)9展开式的通项为 Tr+1=
1
2x
)r=(-
1
2
)r
令18-3r=9得r=3
∴展开式中x9的系数是 (-
1
2
)3
故答案为 -
已知二项式(x+
正确答案
展开式的通项为 Tr+1=c8rxn-r•(
1
a
)r=
前三项的系数为1，
∴2×
解得a=2，a=14．
故答案为：2或14．
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