- 计数原理
- 共11505题
对于二项式（1-x）1999，有下列四个命题：
①展开式中T1000=-C19991000x999；
②展开式中非常数项系数和是1；
③展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项；
④当x=2000时，（1-x）1999除以2000的余数是1．其中正确命题的序号是______．
正确答案
对于二项式（1-x）1999，二项式项的公式Tr+1=Cnr1n-r（-1）r，
对于命题①，T1000=C199999911000（-x）999，=-C1999999x999，故此命题不正确；
对于命题②展开式中非常数项系数和是-1，故命题不正确；
对于命题③展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项不正确，因为相邻二项一正一负，故不可能同时是系数最大项；
对于命题当x=2000时，（1-x）1999除以2000的余数是1是正确的，因为展开式中不含有2000的项是1，故当x=2000时，（1-x）1999除以2000的余数是1是正确的．
故答案为：④．
已知a＞0，二项式(x-
正确答案
二项展开式的通项Tr+1=
令8-2r=0，可得r=4，
∵二项式(x-
∵a＞0，解得a=2，
∴(x-
a
x
)8=(x-
2
x
)8
令x=1，可得(x-
2
x
)8=1
故答案为：1
已知(
正确答案
(
a
x
-
x
2
)9的展开式的通项为Tr+1=
a
x
)9-r(-
x
2
)r=(-
2
2
)ra9-r
令
∴展开式中x3的系数为
∵展开式中x3的系数为
∴
故答案为4
正确答案
-31
在（a-3b2-c）6的展开式中，含a3b2c2的项的系数是______．
正确答案
（a-3b2-c）6看成是：
（a-3b2-c）（a-3b2-c）（a-3b2-c）（a-3b2-c）（a-3b2-c）（a-3b2-c）
则含a3b2c2的项的系数是相当于从上述6个括号中任意取两个，有C63种；得到a3
再从剩余3个括号中任意取两个，有C32种；得到c2
最后一个括号中取-3b2
最后得到a3b2c2，
∴含a3b2c2的项的系数是 C36×C23×（-3）=-180．
故答案为：-180．
在(2x2-1)(1+
正确答案
∵要求两个多项式的积中的常数项，
∴2x2要与(1+
1
x2
)4展开式的
-1要与C41相乘，得到结果是-1，
综上有常数项是8-1=7
故答案为：7
在二项式(x2-
正确答案
Tr+1=
所以，（-a）3C53=-10⇒-a3=-10⇒a=1．
故答案：1．
已知二项式(
（1）若在展开式中，第4项是常数项，求n；
（2）设n≤2012，在其展开式，若存在连续三项的二项式系数成等差数列，问这样的n共有多少个？
正确答案
（1）∵T4=
∴
（2）连续三项的二项式系数分别为
由题意2
依组合数的定义展开并整理得n2-（4k+1）n+4k2-2=0，
故n1，2=
则因为n为整数，并且8k+9是奇数，所以令8k+9=（2m+1）2⇒2k=m2+m-2，
代入整理得n1=(m+1)2-2，n2=m2-2，∵442=1936，452=2025，
故n的取值为442-2，432-2，…，32-2，共42个． …..（10分）
若(
（1）求n的值；
（2）此展开式中是否有常数项，为什么？
正确答案
（1）由题意可得，2
∴n2-n=n+
化简可得，n2-9n+14=0
∵n≥3
∴n=7
（2）无常数项，Tr+1=
其中
二项式(x+
正确答案
展开式的通项为Tr+1=（
∴n=1+
解得n=8
故答案为：8
已知各项全不为零的数列{ak}的前k项和为Sk，且Sk=
（1）求数列{ak}的通项公式；
（2）对任意给定的正整数n（n≥2），数列{bk}满足
正确答案
解：（1）当
当
因为
所以
从而
故
（2）因为
所以
所以
故
已知各项全不为零的数列{ak}的前k项和为Sk，且Sk=
（1）求数列{ak}的通项公式；
（2）对任意给定的正整数n（n≥2），数列{bk}满足
正确答案
解：（1）当
当
因为
所以
从而
故
（2）因为
所以
所以
故
在二项式（1+3x）n和（2x+5）n的展开式中，各项系数之和分别记为an、bn，n是正整数，则
正确答案
已知数列{an}（n为正整数）是首项是a1，公比为q的等比数列。
（1）求和：
（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明；
（3）设q≠1，Sn是等比数列的前n项和，求：
正确答案
解：（1）
（2）归纳概括的结论为：若数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，则
证明：
（3）因为
所以
在二项式(ax+
正确答案
由题意二项式(ax+
令6-2r=0可得r=3
此时的常数项为T4=(3a)3
则
故答案为：-
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